Допускающие понижение порядка

1. Вторую производную можно представить как функцию, зависящую только от .

Пример.

2. Вторую производную можно представить как функцию, зависящую только от .

Сделаем замену

Тогда уравнение сводится к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными.

Сделаем обратную замену

Пример. . Сделаем замену

, ,

.

Переобозначая , , получим

.

3. Рассмотрим уравнения вида

или

Понижение порядка в этих уравнениях достигается за счет замены , , откуда получаем .

Пример 1. .

Получаем , , ,

,

, , ,

, .

Пример 2. .

Делаем замену , ,

Откуда .

Это линейное уравнение первого порядка. Решаем его методом Бернулли.

, ,

Откуда .

Группируя второе и третье слагаемые и приравнивая их к нулю, получим

, ,

, .

Берем частное решение с , ,

Тогда , , , .

Общее решение уравнения имеет вид

.

Возвращаясь к переменной y, получим

, .

4. Уравнения вида .

Метод понижения порядка – замена

Где ,

Пример.

Делаем замену , .

Получаем .

Частное решение дает , . Сокращая на z, получим

, , ,

, ,

, , ,

откуда окончательно получим

.

Дата добавления: 2014-01-15