Однородные уравнения

Уравнения имеют вид .

Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены ,,

откуда следует, что Û .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Правая часть уравнения является функцией от , поскольку . Будем искать решение в виде . Тогда , и исходное уравнение можно записать в следующем виде Û

.

Разделяем переменные: Û ,

откуда следует

Для первого слагаемого получаем:

.

Для второго, .

Следовательно,

.

С учетом табличного интеграла ,

Получаем .

Остается вернуться к переменной .

Ответ: .

Линейные уравнения.

Линейные уравнения имеют вид ,

где и произвольные функции. Для решения линейных уравнений будем использовать метод Бернулли. Он заключается в том, что решение ищется в виде произведения двух функций , одну из которых мы выберем специальным образом. С учетом соотношения

,

Получим .

В качестве возьмем произвольное решение уравнения с разделяющимися переменными . Тогда , и функция есть решение уравнения .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Положим , тогда и мы получаем

.

Выберем в качестве функции произвольное частное решение уравнения . Тогда уравнение эквивалентно системе двух уравнений

Первое уравнение представляет собой уравнение с разделяющимися переменными: Û Û ,

Откуда .

Поскольку нас интересует частное решение этого уравнения, положим . Тогда Û .

Второе уравнение системы теперь можно записать в виде

Û ,

откуда

Ответ:

Уравнения Бернулли.

Уравнения Бернулли либо сводятся к линейным с помощью замены , либо интегрируются с помощью подстановки Бернулли .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Воспользуемся подстановкой Бернулли

, ,

Откуда

Приравнивая нулю сумму второго и третьего слагаемых, получим систему

Находим частное решение первого уравнения

Û

,

Следовательно, .

Полагая , получим .

Для второго уравнения системы теперь получаем

,

Откуда Û .

Для интеграла слева получаем .

Для интеграла справа получаем

.

Следовательно,

Û .

Возвращаясь к , получим

Дифференциальным уравнением второго порядка называется любое уравнение вида .

Пример. Найти решение уравнения , при следующих начальных условиях .

определены и непрерывны Þ удовлетворяет всем условиям теоремы Коши.

- общее решение уравнения.

Подставим начальные условия

- частное решение.

Уравнения второго порядка,

Дата добавления: 2014-01-15