Примеры основных распределений

Пример 1. Пусть случайная величина x есть число появлений события А в n независимых испытаниях (вероятность появления события А в любом испытании равна р). Построить функцию распределения.

Решение. Рассмотрим событие { x < х } ~ , х Î R.

По условию, если , то полагаем, F (x)=0 для х £ 0. , для 0< х £ n, и F (x) = 1, для х > n. Таким образом,

(25)

График функции имеет ступенчатый вид (рис.7):

Рис. 7

Из графика видно, что свойства 1) – 5) выполняются. Величину скачка функции в точке х = k находим из равенства

.

Пример 2. Будем говорить, что случайная величина x имеет распределение Пуассона, если ее функция распределения имеет вид:

(26)

Свойства 1)- 4) очевидны. Проверим 5):

.

Рис. 8

Величина скачка в точке х = k равна , . Число разрывов счетно. График функции представлен на рис. 8.

Пример 3. Будем говорить, что случайная величина x равномерно распределена на (а, в ], если ее функция распределения имеет вид:

(27)

Плотность равномерного распределения

(28)

Рис. 9

Из графиков (рис.9) видно, что значение есть площадь (интеграл) области, ограниченной справа прямой х = х ₀.

Пример 4. Случайная величина x распределена нормально, если ее функция распределения имеет вид:

,

а плотность

, s >0, a – const.

Свойства функции распределения 1 - 4 очевидны. Проверим свойство 5.

={интеграл Пуассона ℑ = }=.

Схематично график плотности (рис. 10) имеет вид:

Рис. 10

Постоянная а характеризует сдвиг функции r (x) по оси ОХ относительно начала координат, а s - меру «сжатости» кривой около центра в точке х = а.

Пример 5. Случайная величина x имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если ее функция распределения определяется по формулой

(29)

Если х – интерпретировать как время, то функция распределения будет иметь вид (рис. 11):

Рис. 11

Это распределение играет важную роль в технике и носит название функции надежности, l - интенсивность с размерностью обратной времени [1].

Плотность , ее график функции имеет вид (рис. 12):

Рис. 12

Дата добавления: 2014-01-15