Свойства плотности

Свойство 1. . (23)

Доказательство. Проверим свойства 1)-5) функции распределения.

Пусть r (х) - плотность, тогда r (х) ³ 0, отсюда

1) "(х ₁ ³ х ₂) Þ

2) непрерывность слева следует либо из непрерывности r (х), либо из ее кусочной непрерывности с разрывами первого рода;

3) следует из существования интеграла на действительной оси;

4) F (-¥) = ;

5) F (+¥) = 1, из определения.

Свойство 2. . (24)

Для доказательства достаточно продифференцировать (23) по переменному верхнему пределу._▼

Учитывая (23) и (24), функцию распределения называют интегральной, а плотность дифференциальной характеристикой случайной величины.

Плотность имеет смысл для такой случайной величины, функция распределения которой дифференцируема; обычно, это непрерывная случайная величина. Функция распределения - это вероятность, и по определению безразмерна. Для плотности, как следует из формулы (24), размерность обратна размерности случайной величины. Физически, плотность характеризует мгновенное изменение случайной величины в точке х.

Для дискретной случайной величины понятие плотности лишено смысла, поскольку, как видно из примера для индикатора, она либо равно нулю, либо имеет бесконечное изменение в точке разрыва.

Отметим некоторые полезные свойства функции распределения и плотности:

1) ,

2) ,

3) Р { х £ x £ х + dx } = r (х) dx,

4) Р { x = а }= F (a +0) – F (a -0),

5) Р { x £ а } = F (a +0).

Упражнение. Доказать свойства 1 – 5.

Дата добавления: 2014-01-15