Ротор векторной величины. Теорема Остроградского-Стокса

Дивергенция вектора дает представление о структуре векторного поля с точки зрения наличия истоков или стоков поля в каждой его точке.

Не менее важной характеристикой векторного поля является способность сил поля совершать работу.

Пусть под действием сил поля вектора тело переместилось на расстояние .

Тогда элементарная работа будет

.

Работа сил векторного поля по замкнутому пути называется циркуляцией вектора .

.

Циркуляция вектора не характеризует векторное поле в каждой его точке с точки зрения наличия циркуляции (вихря) в этой точке, т.к. интегрирование ведется по замкнутому пути.

Для характеристики векторного поля с точки зрения наличия циркуляции (вихря) в каждой его точке введено понятие ротора векторной величины.

Ротор вектора в данной точке определяется как предел отношения линейного интеграла вектора по контуру, охватывающему площадку , к величине последней, когда эта площадка стремится к нулю. При этом площадка должна занимать такое из всех возможных положений, при котором этот предел имеет наибольшее значение. Таким образом,

. (4.10)

Если , то и .

Ротор – величина векторная.

Направление ротора совпадает с направлением нормали к площадке , причем за положительное направление ротора вектора принято считать направление перемещения оси штопора при повороте его рукоятки в сторону положительного обхода контура. Нахождение ротора, так же как и нахождение дивергенции представляет собой операцию дифференцирования по координатам.

В прямоугольной системе координат

. (4.11)

Согласно теореме Остроградского – Стокса поток вектора сквозь замкнутую поверхность можно заменить интегралом от вектора по замкнутому контуру, который ограничивает эту поверхность

. (4.12)

Дата добавления: 2014-01-15