Анализ цепи с идеальным индуктивным элементом

Индуктивная катушка с активным сопротивлением R_L = 0 называется идеальной. Подключим к идеальной катушке индуктивности источник синусоидального напряжения, что проиллюстрировано на рис. 6.3.

Под воздействием приложенного синусоидального напряжения по виткам катушки будет протекать ток. Примем начальную фазу тока равной нулю, то есть:

i_L = I_mLsin ωt. (6.11)

Из рис. 6.3 и выражения (6.1) следует, что мгновенное значение напряжения на индуктивности определяется скоростью изменения тока

. (6.12)

Выражение (6.12) с учетом формулы (6.11) после дифференцирования примет вид:

, (6.13)

где U_mL = Lω·I_mL – амплитуда падения напряжения на идеальной индуктивности.

Из выражения (6.13) найдем значение амплитуды тока:

. (6.14)

В формулах (6.13) и (6.14) величина ωL имеет размерность сопротивления, а именно: , и носит название индуктивного сопротивления. Обозначается индуктивное сопротивление Х_L = ωL = 2π·f·L. Величина, обратная индуктивному сопротивлению, называется индуктивной проводимостью. Индуктивное сопротивление является реактивным, так как характеризует способность элемента создавать ЭДС самоиндукции, противодействующую протеканию переменного тока в цепи. Отметим, что в цепи постоянного тока ω = 0 и Х_L = 0.

Для построения векторной и временной диаграмм, а также для сравнения фаз тока и напряжения запишем выражение (6.14) в синусоидальной форме:

. (6.15)

Сравнивая выражения (6.11) и (6.15) для мгновенных значений тока и напряжения можно сделать вывод, что в цепи с идеальной индуктивной катушкой напряжение опережает ток по фазе на угол 90⁰ (π/2).

Векторная и временная диаграммы тока и напряжения в цепи с идеальной катушкой индуктивности проиллюстрированы на рис. 6.4.

Из рис. 6.4, в следует, что мгновенное значение мощности определяется произведением мгновенных значений напряжения и тока:

p_L = u_L ·i_L =U_mLcosωt·I_mLsinωt = U_mL·I_mLcosωt·sinωt. (6.16)

Правую часть уравнения (6.16) умножим и разделим на 2. Тогда получим:

. (6.17)

Из выражения (6.17) видно, что мгновенная мощность в цепи с идеальной индуктивностью изменяется с двойной частотой по сравнению с частотой изменения тока и напряжения в этой же цепи.

В цепи с идеальной катушкой индуктивности происходит непрерывное колебание (обмен) энергии W_L между магнитным полем этой катушки индуктивности и энергией источника. Максимальное значение (пик) магнитной энергии равно:

.

Амплитудное значение мгновенной мощности или произведение действующих значений напряжения и тока в цепи с индуктивностью называется реактивной индуктивной мощностью или просто индуктивной мощностью:

, вар. (6.18)

В формуле (6.18) «вар» означает вольт-ампер реактивный.

Отметим, что среднее значение мощности р_СР = 0 в цепи с идеальной индуктивностью за период Т равно нулю, что показано на рис. 6.4, в.

6.2.3. Анализ цепи с ёмкостным элементом

Подключим (рис. 6. 5) к источнику переменного тока конденсатор С, токами утечки которого пренебрегаем ввиду их малости

Принимаем, что напряжение источника изменяется по синусоидальному закону с нулевой начальной фазой, и мгновенное значение напряжения на обкладках конденсатора С равно:

u_C = u = U_mCsin ωt. (6.19)

Из курса физики известно, что заряд на обкладках конденсатора определяется выражением:

q = C·u = C·U_mCsin ωt. (6.20)

Сравнивая выражения (6.19) и (6.20) заключаем, что закон изменения заряда тот же самый, что и закон изменения напряжения. Скорость изменения заряда конденсатора во времени или то же самое, что скорость изменения напряжения, будет определять ток в цепи:

. (6.21)

В выражении (6.21) I_mC = ω·C·U_mC величина ω·C имеет размерность проводимости (сименс) и называется реактивной ёмкостной проводимостью. Величина, обратная проводимости является реактивным ёмкостным сопротивлением или просто ёмкостным сопротивлением:

, Ом.

Для построения векторной и временной диаграмм, а также для сравнения фаз тока и напряжения запишем выражение (6.21) в синусоидальной форме:

. (6.22)

Сравнивая выражения (6.19) и (6.22) для мгновенных значений тока и напряжения можно сделать вывод, что в цепи с конденсатором ток опережает напряжение по фазе на угол 90⁰ (π/2).

Векторная и временная диаграммы тока и напряжения в цепи с ёмкостным элементом проиллюстрированы на рис. 6.6.

I_mC u_C i_C i_C p_C p_C = i_C · u_C u_C 0 π 2π ωt 0 π 2π ωt φ=π/2 р_СР = 0 0 U_mC a) б) в) Рис. 6.6. Векторная (а) и временные диаграммы тока, напряжения (б) и мощности (в) в цепи с конденсатором С, подверженной гармоническому воздействию

Из рис. 6.6, в следует, что мгновенное значение мощности определяется произведением мгновенных значений напряжения и тока:

p_С = u_с ·i_С =I_mCcosωt·U_mCsinωt = U_mC·I_mCcosωt·sinωt. (6.23)

Правую часть уравнения (6.23) умножим и разделим на 2. Тогда получим:

. (6.24)

Из выражения (6.24) видно, что мгновенная мощность в цепи с конденсатором изменяется с двойной частотой по сравнению с частотой изменения тока и напряжения в этой же цепи.

В цепи с идеальным конденсатором происходит непрерывное колебание (обмен) энергии W_С между электрическим полем этого конденсатора и энергией источника. Максимальное значение (пик) электрической энергии равно:

.

Как и в цепи с идеальной индуктивной катушкой, цепь с ёмкостным элементом не потребляет мощность от источника, то есть в этих цепях происходит полный обмен энергией без потерь между источником и цепью.

Амплитуда колебаний мгновенной мощности в цепи с ёмкостью называется реактивной ёмкостной мощностью или просто ёмкостной мощностью:

, вар.

Таким образом, рассмотрены законы Ома и Кирхгофа для переменного тока, а также проанализированы электромагнитные процессы в R, L и С цепях переменного тока.

Тест 14

Гармоническое воздействие на элементы R, L и С электрической цепи

Для каждого п. 1- 4 теста запишите номера только соответствующих ему позиций

Элемент цепи	Положение вектора модуля падения напряжения на элементе	Величина фазового сдвига между током и напряжением	Соотношение между действующими значениями тока и напряжения	Среднее значение
Мгновенной мощности	Энергии
1. Резистор 2. Ёмкость 3. Индуктивность. 4. Проводимость.	5. Отстает от тока 6. Опережает ток 7. Совпадает с током	8. π/2   9. 0   10. - π/2	9. 10. , 11. 12. 13. 14.	15. U·I   16. 0	17.   18.   19. U·I· t

Дата добавления: 2014-01-15