И их свойства

Изображения по Лапласу единичных функций

Лекция 13. Временные характеристики линейных цепей

Преобразований Лапласа

Тема 4. Анализ переходных процессов с помощью

Важное место в теории линейных цепей занимает исследование реакции этих цепей на идеализированные внешние воздействия, описываемые так называемыми единичными функциями.

Единичной ступенчатой функцией (функцией Хевисайда) называется функция

(13.1)

График функции (13.1) имеет вид ступеньки или скачка, высота которого равна 1 (рис. 13.1, а). Скачок такого типа будем называть единичным.

1(t-t₀) 1(t) 1 1 0 t₀ t 0 t a) б)

Рис. 13.1. К определению единичной ступенчатой функции  

При t₀ = 0 для единичной ступенчатой функции используют обозначение 1(t) (рис. 13.1, б).

При подключении цепи к источнику постоянного тока или напряжения внешнее воздействие на цепь является неединичным

(13.2)

Используя функцию Хевисайда (13.1), выражение (13.2) можно представить в виде

.

Если в момент времени t = t₀ в цепь включается источник гармонического тока или напряжения, то внешнее воздействие представляется

.

Импульсное внешнее воздействие длительностью t_И и амплитуды Х (рис. 13.2, а) можно представить в виде разности двух одинаковых скачков

сдвинутых во времени на t_И (рис. 13.2, б, в):

(13.3)

Рассмотрим прямоугольный импульс длительностью ∆t и высотой (рис. 13.3, а). Очевидно, что площадь этого импульса равна 1.

При уменьшении длительности импульса его высота возрастает, причем при ∆t → 0 она стремится к бесконечности, но площадь остается равной 1.

Импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой высоты, площадь которого равна 1, называется единичным импульсом. Функция, определяющая единичный импульс, обозначается δ(t-t₀) и называется δ – функцией или функцией Дирака.

(13.4)

причем

. (13.5)

При t₀ = 0 для δ – функции используется обозначение δ(t) и она изображается стрелкой со значком ∞ (рис. 13.3, б, в).

Связь между δ – функцией и единичной ступенчатой функцией устанавливается с помощью выражения (13.3), полагая, что и устремляя ∆t к нулю.

, (13.6)

откуда

. (13.7)

При выполнении различных операций над единичными функциями факт коммутации t₀ удобно расчленить на три различных момента: t_{0 ─} - момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, t₀ -собственно момент коммутации и t₀₊ - момент времени, следующий непосредственно после коммутации.

С помощью δ – функции можно выделять значения интегрируемых функций в произвольные моменты времени t₀. Эту особенность δ – функции называют фильтрующим свойством.

Учитывая рассмотренные свойства единичных функций, запишем искомое выражение для ступенчатого воздействия в изображении Лапласа

(13.8)

Для воздействия δ – функции имеем

(13.9)

При t₀ = 0 операторные изображения ступенчатой (13.8) и δ – функции (13.9) имеют особенно простой вид:

; (13.10)

. (13.11)

Рассмотрим воздействие единичных функций (13.10) и (13.11) на пассивные электрические цепи, содержащие ёмкость и индуктивность.

Дата добавления: 2014-01-15