Характеристик линейной цепи

Операторные изображения переходной и импульсной

Переходную и импульсную характеристики рассмотрим на примере линейной цепи, содержащей пассивные элементы: ёмкость и индуктивность. С помощью этих элементов формируют, широко распространенные в радиотехнике, дифференцирующие и интегрирующие цепи (рис. 13.4).

Если напряжение на выходе цепи и₂ пропорционально производной от входного напряжения и₁ (), то в соответствии с теоремой дифференцирования операторные изображения этих величин и при нулевых начальных условиях должны быть связаны соотношением

_,

где К₂₁(р) = α₁р – операторный коэффициент передачи по напряжению дифференцирующей цепи.

Аналогичным образом устанавливаем операторный коэффициент передачи по напряжению интегрирующей цепи:

,

где α₁ и α₂ – постоянные коэффициенты.

Полагая, что сопротивление нагрузки обобщенной операторной цепи столь велико, что током I₂(p) можно пренебречь по сравнению с I₁(p), находим выражение для коэффициента передачи обобщенной операторной цепи по напряжению:

Очевидно, что операторный коэффициент передачи обобщенной цепи может быть пропорционален р или р^-1 только при

и I₂(p) ≈ 0. (13.12)

В этом случае для дифференцирующей цепи приближенно выполняется соотношение

,

а для интегрирующей цепи - .

Для дифференцирующей цепи соблюдение условия (13.12) равносильно тому, что постоянная времени цепи (см. рис. 13.4, а) или (см. рис. 13.4, б) намного меньше длительности дифференцируемого сигнала, то есть и , где t_И – длительность импульса (см. рис. 13.2, а).

Для интегрирующей цепи условие (13.12) означает, что постоянная времени цепи должна быть значительно больше интервала интегрирования.

Из выражения (13.12) также вытекает, что напряжение на выходе и₂ простейших дифференцирующих и интегрирующих цепей оказывается намного меньшим, чем напряжение на входе и₁ этих цепей.

Оценим переходные процессы при воздействии на ёмкостной и индуктивный элементы импульсной и скачкообразной функций.

Пусть к ёмкости, имеющей нулевое начальное напряжение и_С(0) = 0, приложено внешнее воздействие в виде импульса тока . Напряжение на ёмкости

в момент приложения импульса тока скачком увеличится от начального значения до и далее будет сохранять это значение. При этом энергия, запасенная в ёмкости, скачком изменится от w_C(0_) = 0 до . Таким образом, несмотря на то, что длительность единичного δ – импульса бесконечно мала, он сообщает ёмкости конечный запас энергии.

Характер зависимостей тока и напряжения от времени не изменится и в том случае, когда на ёмкость подано внешнее ступенчатое воздействие

при этом запасенная в цепи энергия скачком изменится от 0 до .

Аналогичным образом устанавливаем, что при воздействии на индуктивность импульса напряжения , ток индуктивности скачком увеличивается от начального значения i_L(0) до уровня : и далее сохраняет неизменное значение, а при подключении индуктивности к источнику тока , напряжение индуктивности имеет вид бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади: .

При воздействии на линейную цепь неединичного скачка

реакция цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях равна s₁(t).

Переходной характеристикой g(t ─ t₀) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие неединичного скачка тока или напряжения к высоте этого скачка при нулевых начальных условиях:

. (13.13)

Из выражения (13.13) следует, что , если Х = 1, следовательно, переходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения.

Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной.

Переходную характеристику цепи иногда называют переходной функцией.

При воздействии на линейную цепь бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади А_И:

реакция цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях равна s_δ(t).

Импульсной характеристикой h(t ─ t₀) линейной цепи называется отношение реакции цепи на воздействие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади к площади этого импульса при нулевых начальных условиях:

. (13.14)

Как следует из выражения (13.14), импульсная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса (А_И = 1). Размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.

Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, переходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздействием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от комплексной частотной и операторной характеристик аргументом переходной и импульсной характеристик является время t, а не угловая ω или комплексная р частота.

Так как характеристики цепи, аргументом которых является время, называются временными, а аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) – частотными характеристиками, то переходная и импульсная характеристики относятся к временным характеристикам цепи.

Каждой паре «внешнее воздействие на цепь х(t) – реакция цепи s(t)» можно поставить в соответствие определенную операторную Н(p), переходную g(t ─ t₀) и импульсную h(t ─ t₀) характеристики.

Для установления связи между этими характеристиками Н(p), g(t ─ t₀) и h(t ─ t₀) найдем операторные изображения переходной и импульсной характеристик.

Используя выражения (13.13) и (13.14), запишем

,

где - операторные изображения реакции цепи на внешние воздействия.

Выражая и через операторные изображения внешних воздействий

и ,

получаем

;

. (13.15)

При t₀ = 0 операторные изображения переходной и импульсной характеристик имеют особенно простой вид:

; . (13.16)

Таким образом, импульсная характеристика цепи h(t) – это функция, изображение которой, по Лапласу, представляет собой операторную характеристику цепи Н(p), а переходная характеристика цепи g (t) - функция, операторное изображение которой равно

.

Выражения (13.15) и (13.16) устанавливают связь между частотными и временными характеристиками цепи. Зная, например, импульсную характеристику h(t), можно с помощью прямого преобразования Лапласа найти соответствующую операторную характеристику цепи

а по известной операторной характеристике с помощью обратного преобразования Лапласа определить импульсную характеристику цепи

Используя выражения (13.15) и теорему дифференцирования (11.6), нетрудно установить связь между переходной и импульсной характеристиками:

(13.17)

Заменяя в выражении (13.17) на и используя соотношение

,

получаем искомую математическую связь переходной и импульсной характеристик цепи:

Выражение (13.18) часто называют формулой обобщенной производной.

Пример. Для цепи, схема которой приведена на рис. 13.4, а, найдем переходную и импульсную характеристики.

Коэффициент передачи цепи по напряжению был ранее получен при расчете переходного процесса в цепи, изображенной на рис. 12. 4, а, и соответствует операторной характеристике данной цепи:

.

Операторные изображения переходной g(t) и импульсной h(t) характеристик цепи имеют вид

Используя таблицы обратного преобразования Лапласа (см. прил. 11.1), переходим от изображений искомых временных характеристик к оригиналам:
.

Графики переходной g(t) и импульсной h(t) переходной характеристик в цепи с индуктивным элементом (рис. 13.4, а) представлены на рис. 13.5.

		Рис. 13.5. Графики переходной g(t) и импульсной h(t) переходной характеристик в цепи с индуктивным элементом

g(t) h(t) 1 ∞   0 t 0 t a) -R/L б)  

.

Таким образом, были рассмотрены изображения по Лапласу единичных функций и оценены их свойства. С помощью единичных функций исследованы операционные переходная и импульсная переходная характеристики электрических цепей.

Тест 28

Дата добавления: 2014-01-15