Ряд Фурье. Спектр периодических сигналов

Лекция 17. Спектральные представления сигналов

Тема 5. Электромагнитные сигналы и их преобразование

Представление какого-либо сигнала в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами называется спектральным разложением этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр.

Математической моделью повторяющегося во времени процесса является периодический сигнал, который обладает следующим свойством:

, (17.1)

где n = 1, 2, 3, …;

Т – период сигнала.

Введем основную частоту последовательности гармонических колебаний, образующих периодический сигнал (17.1)

. (17.2)

Запишем ряд Фурье для сигнала (17.1) с периодом (17.2)

, (17.3)

где

(17.4)

.

Спектральной диаграммой периодического сигнала называют графическое изображение коэффициентов ряда Фурье (17.4). Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы. Число спектральных составляющих n стремится к бесконечно большому числу.

Наибольший интерес представляют амплитудные спектральные диаграммы, которые позволяют оценивать процентное содержание тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала.

В качестве примера построения диаграммы амплитудного спектра вначале рассмотрим спектр частот амплитудно-модулированного сигнала с одной гармонической модулирующей функцией , когда n = 1.

Математическая модель амплитудно-модулированного сигнала имеет вид

Амплитудный спектр амплитудно-модулированного гармонического сигнала представлен на рис. 17.1.

Из рис. 17.1 видно, что ранее упомянутые боковые составляющие (16.8) симметрично отстоят от центральной основной частотной составляющей и имеют вид прямых линий, длина которых соответствует соответствующей доли мощности в общем спектре частот.

В качестве другого примера построения спектральной диаграммы с бесконечно большим числом спектральных составляющих рассмотрим две периодические импульсные последовательности с широкими и узкими прямоугольными видеоимпульсами.

По формулам (17.4) находим

(17.5)

b_n = 0,

где τ_И, А₀ и Т – длительность, амплитуда прямоугольного импульса и период их следования соответственно.

Диаграмма амплитудного спектра периодической последовательности широких и узких прямоугольных видеоимпульсов рассчитана с помощью формулы (17.5) и проиллюстрирована на рис. 17.2.

Из рассмотрения рис. 17.2 следует, что огибающая спектра периодической последовательности узких прямоугольных видеоимпульсов более разнообразна, чем огибающая спектра периодической последовательности широких прямоугольных видеоимпульсов.

Рассмотренный метод рядов Фурье (17.3) позволяет получить спектральные характеристики не только периодических, но и непериодических электромагнитных сигналов, какими являются одиночные импульсы.

Дата добавления: 2014-01-15