Аналого-цифровой преобразователь

Обобщенные сети

Статистические сети Хопфилда

Если правила изменения состояний для бинарной сети Хопфилда заданы статистически, а не детерминировано, как в уравнении (6.1), то возникает система, имитиру­ющая отжиг. Для ее реализации вводится вероятность изменения веса как функция от величины, на которую выход нейрона OUT превышает его порог. Пусть

E_k=NETk - q_k,

где NET_k - выход NET нейрона k, q_k - порог нейрона k, и

p_k = 1/ [1 + ехр(-dE_k/ T)],

(отметьте вероятностную функцию Больцмана в знаменате­ле), где Т - искусственная температура. В стадии функционирования искусственной температу­ре Т приписывается большое значение, нейроны устанавли­ваются в начальном состоянии, определяемом входным вектором, и сети предоставляется возможность искать минимум энергии в соответствии с нижеследующей процеду­рой:

1. Приписать состоянию каждого нейрона с вероят­ностью р значение единица, а с вероятностью 1 – р_k - нуль.

2. Постепенно уменьшать искусственную температуру и повторять шаг 1, пока не будет достигнуто равновесие.

Принцип машины Больцмана может быть перенесен на сети практически любой конфигурации, хотя устойчивость не гарантируется. Для этого достаточно выбрать одно множество нейронов в качестве входов и другое множество в качестве выходов. Затем придать входному множеству значения входного вектора и предоставить сети возмож­ность релаксировать в соответствии с описанными выше правилами 1 и 2. Процедура обучения для такой сети, описанная в [5], состоит из следующих шагов: 1. Вычислить закрепленные вероятности.

а) придать входным и выходным нейронам значения обучающего вектора;

б) предоставить сети возможность искать равнове­сие;

в) записать выходные значения для всех нейронов;

г) повторить шаги от а до в для всех обучающих векторов;

д) вычислить вероятность Р⁺_ij, т.е. по всему мно­жеству обучающих векторов вычислить вероятность того, что значения обоих нейронов равны единице.

2. Вычислить незакрепленные вероятности.

а) предоставить сети возможность «свободного дви­жения» без закрепления входов или выходов, начав со случайного состояния;

б) повторить шаг 2а много раз, регистрируя значе­ния всех нейронов;

в) вычислить вероятность Р^-_ij, т.е. вероятность того, что значения обоих нейронов равны единице.

3. Скорректировать веса сети следующим образом:

dw_ij = h [ P⁺_ij – P^-_ij ],

где dw_ij. - изменение веса w_ij, h - коэффициент скорости обучения.

ПРИЛОЖЕНИЯ

В недавних работах [8,10] рассматривалась электри­ческая схема, основанная на сети с обратной связью, реализующая четырехбитовый аналого-цифровой преобразо­ватель. На рис. 6.4 показана блок-схема этого устройст­ва с усилителями, выполняющими роль искусственных ней­ронов. Сопротивления, выполняющие роль весов, соединяют выход каждого нейрона с входами всех остальных. Чтобы удовлетворить условию устойчивости, выход нейрона не соединялся сопротивлением с его собственным входом, а веса брались симметричными, т.е. сопротивление от выхо­да нейрона i к входу нейрона j имело ту же величину, что и сопротивление от выхода нейрона j к входу нейрона i. Заметим, что усилители имеют прямой и инвертиро­ванный выходы. Это позволяет с помощью обычных положи­тельных сопротивлений реализовывать и те случаи, когда веса должны быть отрицательными. На рис. 6.4 показаны все возможные сопротивления, при этом никогда не возни­кает необходимости присоединять как прямой, так и ин­вертированный выходы нейрона к входу другого нейрона. В реальной системе каждый усилитель обладает ко­нечным входным сопротивлением и входной емкостью, что должно учитываться при расчете динамической характерис­тики. Для устойчивости сети не требуется равенства этих параметров для всех усилителей и их симметричности. Так как эти параметры влияют лишь на время получения реше­ния, а не на само решение, для упрощения анализа они исключены. Предполагается, что используется пороговая функция (предел сигмоидальной функции при X, стремящемся к бесконечности). Далее, все выходы изменяются в начале дискретных интервалов времени, называемых эпохами. В начале каждой эпохи исследуется сумма входов каждого нейрона. Если она больше порога, выход принимает единичное значение, если меньше - нулевое. На протяжении эпохи выходы нейронов не изменяются.

Рис. 6.4. Четырехбитовый аналого-цифровой преобразователь, использующий сеть Хопфилда.

Целью является такой выбор сопротивлений (весов), что непрерывно растущее напряжение X, приложенное к одновходовому терминалу, порождает множество из четы­рех выходов, представляющих двоичную запись числа, величина которого приближенно равна входному напряжению (рис. 6.5). Определим сначала функцию энергии следующим образом:

(6.7)

где Х - входное напряжение. Когда Е минимизировано, то получаются нужные выхо­ды. Первое выражение в скобках минимизируется, когда двоичное число, образованное выходами, наиболее близко (в среднеквадратичном смысле) к аналоговой величине входа X. Второе выражение в скобках обращается в нуль, когда все выходы равны 1 или 0, тем самым накладывая ограничение, что выходы принимают только двоичные зна­чения. Если уравнение (6.7) перегруппировать и сравнить с уравнением (6.2), то получим следующее выражение для весов:

w_ij=-2^i+j, y_i=2ⁱ

где w_ij - проводимость (величина, обратная сопротивле­нию) от выхода нейрона i к входу нейрона j (равная также проводимости от выхода нейрона j к входу нейрона 0); ij. - проводимость от входа Х к входу нейрона i. Чтобы получить схему с приемлемыми значениями сопротивлений и потребляемой мощности, все веса должны быть промасштабированы.

Идеальная выходная характеристика, изображенная на рис. 6.5, будет реализована лишь в том случае, если входы устанавливаются в нуль перед выполнением преобра­зования. Если этого не делать, сеть может попасть в локальный минимум энергии и дать неверный выход.

Задача коммивояжера

Задача коммивояжера является оптимизационной зада­чей, часто возникающей на практике. Она может быть сформулирована следующим образом: для некоторой группы городов с заданными расстояниями между ними требуется найти кратчайший маршрут с посещением каждого города один раз и с возвращением в исходную точку. Было дока­зано, что эта задача принадлежит большому множеству задач, называемых «NP-полными» (недетерминистски поли­номиальными) [3]. Для NP-полных задач не известно луч­шего метода решения, чем полный перебор всех возможных вариантов, и, по мнению большинства математиков, мало­вероятно, чтобы лучший метод был когда либо найден. Так как такой полный поиск практически неосуществим для большого числа городов, то эвристические методы исполь­зуются для нахождения приемлемых, хотя и неоптимальных решений. Описанное в работе [8] решение, основанное на сетях с обратными связями, является типичным в этом отношении. Все же ответ получается так быстро, что в определенных случаях метод может оказаться полезным. Допустим, что города, которые необходимо посетить, помечены буквами А, В, С и D, а расстояния между парами городов есть d_ab, d_bc и т.д. Решением является упорядоченное множество из n городов. Задача состоит в отображении его в вычисли­тельную сеть с использованием нейронов в режиме с боль­шой крутизной характеристики (l приближается к бесконе­чности). Каждый город представлен строкой из n нейро­нов. Выход одного и только одного нейрона из них равен единице (все остальные равны нулю). Этот равный единице выход нейрона показывает порядковый номер, в котором данный город посещается при обходе. На рис. 6.6 показан случай, когда город С посещается первым, город А - вторым, город D - третьим и город В - четвертым. Для такого представления требуется n² нейронов - число, которое быстро растет с увеличением числа городов. Длина такого маршрута была бы равна d_ca + d_ad + d_db + d_bc. Так как каждый город посещается только один раз и в каждый момент посещается лишь один город, то в каждой строке и в каждом столбце имеется по одной единице. Для задачи с п городами всего имеется п! различных маршрутов обхода. Если п = 60, то имеется 69 34155 х 10⁷⁸ возможных маршрутов. Если принять во внимание, что в нашей галактике (Млечном Пути) имеете) лишь 10¹¹ звезд, то станет ясным, что полный перебор всех возможных маршрутов для 1000 городов даже и. самом быстром в мире компьютере займет время, сравнимо с геологической эпохой. Продемонстрируем теперь, как сконструировать сет: для решения этой NP-полной проблемы. Каждый нейрон снабжен двумя индексами, которые соответствуют городу порядковому номеру его посещения в маршруте. Например OUT_xj = 1 показывает, что город х был j-ым по порядку j - ым городом маршрута.

функция энергии должна удовлетворять двум требованиям: во-первых, должна быть малой только для тех решений, которые имеют по одной единице в каждой строке и каждом столбце; во-вторых, должна оказывать предпочтение решениям с короткой длиной маршрута. Первое требование удовлетворяется введением следующей, состоящей из трех сумм, функции энергии:

(6.9)

где А, В и С- некоторые константы. Этим достигается выполнение следующих условий:

1. Первая тройная сумма равна нулю в том и только в том случае, если каждая строка (город) содержит не более одной единицы.

2. Вторая тройная сумма равна нулю в том и только в том случае, если каждый столбец (порядковый номер посещения) содержит не более одной единицы.

3. Третья сумма равна нулю в том и только в том случае, если матрица содержит ровно п единиц.

Второе требование - предпочтение коротким маршру­там - удовлетворяется с помощью добавления следующего члена к функции энергии:

(6.10)

Заметим, что этот член представляет собой длину любого допустимого маршрута. Для удобства индексы опре­деляются по модулю п, т.е. OUT_n+j = OUT_j, a D - некото­рая константа. При достаточно больших значениях А, В и С низко­энергетические состояния будут представлять допустимые маршруты, а большие значения D гарантируют, что будет найден короткий маршрут. Теперь зададим значения весов, т.е. установим соответствие между членами в функции энергии и членами общей формы (см. уравнение 6.2)).

Получаем

W_xi,yi = -Al_xy (1-l_ij) - Bl_ij (1- l_xy ) - C - Dl_xy(l_j,i+1 + l_j,i-1)

где l_ij = 1, если i = j, в противном случае l_ij = 0. Кроме того, каждый нейрон имеет смещающий вес х_i, со­единенный с +1 и равный Сп. В работе [8] сообщается об эксперименте, в кото­ром задача коммивояжера была решена для 10 городов. В этом случае возбуждающая функция была равна

OUT = 1/ 2[1 + th(NET/ u₀)].

Как показали результаты, 16 и 20 прогонов сошлись к допустимому маршруту и около 50% решений оказались крат­чайшими маршрутами, как это было установлено с помощью полного перебора. Этот результат станет более впечатля­ющим, если осознать, что имеется 181440 допустимых маршрутов. Сообщалось, что сходимость решений, полученных по методу Хопфилда для задачи коммивояжера, в сильной степени зависит от коэффициентов, и не имеется система­тического метода определения их значений [II]. В этой работе предложена другая функция энергии с единственным коэффициентом, значение которого легко определяется. В дополнение предложен новый сходящийся алгоритм. Можно ожидать, что новые более совершенные методы будут раз­рабатываться, так как полностью удовлетворительное решение нашло бы массу применений.

Дата добавления: 2014-01-15