Елементи теорії масового обслуговування

В багатьох важливих прикладних задачах система масового обслуговування описується наступною схемою: в систему надходить вхідний потік вимог, утворюється черга, прилади системи обслуговують вимоги, які потім залишають систему. Отже, робота такої системи полягає у виконанні вимог, що надходять до системи у випадкові моменти часу і які утворюють прибуваючий потік системи. Обслуговуючі устаткування називають приладами. Кожна вимога одразу починає обслуговуватися одним із вільних приладів. Якщо усі прилади зайняті обслуговуванням, то наступна заявка або становиться в чергу, або зникає. Заявки, що залишають систему незалежно від того, були вони обслуговувані, чи ні, утворюють вибуваючий потік. Наприклад, даною схемою можна описати магазин, де прибуваючий потік − це покупці, яким необхідний товар, прилади − це робочі місця за прилавком магазину, обслуговування − виконання продавцем заявки на необхідні покупцю товари. Інший приклад стосується обчислювального центру, де прибуваючий потік − потік інформації, яка прибуває на обробку (певні задачі), прилади − комп’ютери, обслуговування − обробка інформації (розв’язання задачі).

У загальному випадку прибуваючий потік вимог задається випадковим процесом , значення якого в кожний фіксований момент часу дорівнює кількості вимог, які прибули у систему до цього моменту. Очевидно, реалізації процесу є неспадними функціями, значення яких змінюються стрибком на цілочисельні величини у випадкові моменти часу. Завдання прибуваючого потоку еквівалентно завданню − вимірних розподілів процесу . Така загальна постановка питання при розв’язанні конкретних задач, як правило, не призводить до задовільних висновків, тому найчастіше обмежуються розглядом лише окремих випадків. Розглянемо ці потоки.

Детермінованим, або регулярним прибуваючим потоком є потік, де вимоги прибувають у систему через рівні проміжки часу тривалістю . Очевидно, що функція розподілу тривалості проміжків часу між послідовними моментами прибуття вимог має вигляд:

(9.7)

Достатньо поширеним випадком прибуваючого потоку є пуассонівський прибуваючий потік, де прибуття заявок відповідає пуассонівському процесу з параметром () і кількість вимог , які прибули в інтервалі часу (0;), розподіляється за законом Пуассону:

(), (9.8)

де параметрвизначає інтенсивність потоку вимог і дорівнює середньому числу вимог, які прибули у систему за одиницю часу.

Пуассонівський потік називають також найпростішим потоком, оскільки його властивостями є стаціонарність (кількість заявок за одиницю часу є сталою величиною), відсутність післядій (кількість заявок, що надійшли у даний момент часу, не залежить від того, скільки заявок надійшло у попередній момент часу) та ординарність (ймовірність того, що у певний момент часу надійде дві або більше заявок, значно менше, ніж ймовірність того, що надійде лише одна заявка). Однак, частіше при розв’язанні задач теорії масового обслуговування згадані раніш вимоги не виконуються. Так, потік пасажирів, прибуваючих на обслуговування у метро, залежить від часу суток (часів пік). Потік заявок на квитки у кіно в загальному випадку не є ординарним (у касу можуть надходити заявки разом на два або більше квитків).

За числом обслуговуючих приладів (каналів) системи розподіляються на одноканальні та багатоканальні. Припустимо, що усі прилади багатоканальної системи цілком ідентичні і працюють незалежно один від одного, зберігаючи темп обслуговування та на їх роботу ні в якій мірі не впливає довжина черги (не прискорюють обслуговування, якщо черга зростає). Як правило, розглядається показниковий розподіл часу , протягом якого прилад здійснює обслуговування заявки:

, (9.9)

де − інтенсивність потоку, тобто величина, що обернено пропорційна середньому часу обслуговування, або (що теж саме) дорівнює середній кількості заявок, що обслуговує прилад за одиницю часу.

Дата добавления: 2014-01-11