Решение простейших уравнений и неравенств: квадратных, рациональных (дробно-рациональных)

Многие уравнения и неравенства часто сводятся к решению линейных и квадратных уравнений и неравенств соответственно. Поэтому кратко повторим основные подходы к их решению.

Корен ь (решение) уравнения – число, которое при подстановке его в уравнение вместо переменной, превращает данное уравнение в верное равенство.

Решить уравнение, - значит, найти все его корни (решения) или доказать, что корней (решений) нет.

Равносильные уравнения – уравнения, множества корней (решений) которых совпадают, в частности, если оба уравнения не имеют корней, то они равносильны.

Замечание: 1. Если каждый корень уравнения является в то же время корнем уравнения , полученного после некоторых преобразований из уравнения , то уравнение называют следствием уравнения .

2. Если каждое из двух уравнений является следствием другого из них, то такие уравнения являются равносильными.

Линейные уравнения – уравнения вида , где и - некоторые числа, - переменная. Эти уравнения имеют три различных случая решения (рассмотрим на примерах):

Пример. (умножим обе части уравнения на 12).

,

,

,

. (единственное решение).

Пример. , решений нет.

Пример. ; любое

удовлетворяет последнему уравнению, а значит и исходному. (бесконечно много

решений).

Квадратные уравнения – уравнения вида , где и - некоторые числа, - переменная, при этом (при уравнение превращается в линейное.) Если или , а также в случае одновременного равенства нулю этих коэффициентов квадратное уравнение называют неполным и решают стандартными способами разложения на множители.

Пример. или ; или .

Пример. .

Для решения полного квадратного уравнения используют обычную формулу корней квадратного уравнения:

.

Возможны три случая:

1. ; уравнение имеет два различных действительных корня , ;

2. ; уравнение имеет два одинаковых действительных корня ;

3. ; уравнение не имеет действительных корней.

Замечание. Для решения приведенного квадратного уравнения, , , часто используют теорему Виета:

, .

Дата добавления: 2014-01-15