Пример

Рациональные (дробно-рациональные) уравнения.

Определение: Функция вида , где ; - некоторый действительные числа, называется целой рациональной функцией.

Целым рациональным уравнением называется уравнение вида , где - целая рациональная функция.

Теорема 1. Для того чтобы несократимая дробь была корнем многочлена с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число было делителем свободного члена , а число - делителем старшего коэффициента .

Теорема 2. (Теорема Безу) Остаток от деления многочлена на двучлен равен значению мног4очлена при , то есть .

При делении многочлена на двучлен имеем равенство

.

Оно справедливо, в частности, при , то есть .

Пример. Решить уравнения: 1) ; 2) ;

3) ; 4).

Пример. Решить уравнение .

Решение: Поскольку коэффициенты уравнения – целые числа, то попробуем найти хотя бы один целый корень. Делителями свободного члена являются числа . Подстановкой легко убедиться, что - корень уравнения. Проведем деление многочленов «уголком»:

Получили .

Аналогично, убеждаемся, что - корень многочлена , проведем деление:

Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде:

,

Что равносильно совокупности двух уравнений:

Дискриминант второго уравнения отрицательный, значит, оно не имеет действительных корней. Итак, является корнем исходного уравнения.

Для самостоятельного решения:

Решить уравнение:

Ответ: -1, 2.

Дробно-рациональным уравнением называется уравнение вида , где - многочлены.

Решение дробно-рационального уравнения сводится к нахождению корней уравнения и проверке того, что они удовлетворяют условию , то есть рациональное уравнение равносильно системе:

Пример. Решить уравнения 1) ;

2) .

Пример. Решить уравнение .

Решение: Область определения уравнения:

.

Далее будем работать на области определения уравнения. Умножим обе части уравнения на и получим уравнение:

,

.

Пример. Решить уравнение .

Решение: Область определения уравнения:

.

Далее будем работать на области определения уравнения. Заметим, что ; . Сделаем замену . Тогда исходное уравнение перепишем следующим образом:

,

, ,

,

Обратная замена:

.

Пример. Решить уравнение .

Решение: Непосредственно проверкой устанавливаем, что не является корнем данного уравнения. Тогда вынесем из каждой скобки и перейдем к равносильному уравнению:

,

.

Сделаем замену: . Отсюда:

или .

,

Пример. Решить уравнение .

Решение: Сгруппируем множители в левой части уравнения так, чтобы при перемножении были равны первый коэффициент и свободный член:

Далее аналогично примеру 10. Так как не является корнем уравнения, вынесем его за скобки:

Замена: , или .

.

Пример. Решить уравнение .

Решение: Так как не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на , получим уравнение, равносильное данному:

.

Сгруппируем члены этого уравнения:

.

Введем замену: , , .

или .

.

Для самостоятельного решения:

1. Решить уравнение:

(Примечание: замена ).

Ответ: -2, 1.

2. Решить уравнение: .

(Примечание: замена ).

Ответ: .

Дата добавления: 2014-01-15