Рациональные (дробно-рациональные) неравенства. Метод интервалов для рациональных функций

Важнейшим методом решения неравенств является метод интервалов. В 9 классе изучается метод интервалов, прежде всего для многочленов. Он основан на том, что двучлен положителен при и отрицателен при , то есть меняет знак при переходе через точку .

Заметим, что

1. двучлен в нечетной степени ведет себя так же, как ,

2. двучлен в четной степени ведет себя по-другому: он не меняет знак при переходе через точку .

3. квадратичный трехчлен, имеющий положительный коэффициент при и отрицательный дискриминант, всегда положителен и может быть опущен при решении любого неравенства.

4. при переходе через точку может изменить знак только один множитель, , выражение при переходе через точку знак не меняет.

Пример. а. Решить неравенство ,

б.

Решение: а. Для решения строгого неравенства наносим на числовую ось нули функции кружочками («дырками»). Далее расставляем знаки, учитывая замечание выше:

Ответ: .

б. Вспомним, что по определению,

.

Для решения нестрогих неравенств наносим нули функции на числовую ось точками. Затем расставляем знаки в промежутках.

Ответ: .

Метод интервалов легко распространяется на рациональные функции.

Рациональной называется функция, которая может быть представлена в виде частного двух многочленов, то есть в виде .

Неравенства называются рациональными, если их правые и левые части являются рациональными функциями.

Заметим, что , поэтому метод интервалов применяется к дроби точно так же, как и к многочленам. Для нестрого же неравенства имеем:

.

При решении нестрогих рациональных неравенств нули числителя наносятся на числовую ось точками, а нули знаменателя - «дырками».

Пример. Решить неравенство .

Решение: Приведем неравенство к стандартному виду и разложим числитель и знаменатель на множители. Затем решаем методом интервалов:

, , ,

Ответ: .

Пример. Найти сумму целых решений неравенства .

Решение: Решим неравенство методом интервалов:

. Видно, что целыми решениями являются числа: -2, -1. 3. 4. Их сумма равна 4.

Ответ: 4.

Для самостоятельного решения:

1. Решить неравенства:

2. Укажите длину промежутка, который является решением неравенства:

Ответ: 9.

3. Найти произведение всех целых решений неравенства: .

Ответ: .

Дата добавления: 2014-01-15