Критерий устойчивости Раусса-Гурвица

Математики Раусс (Англия) и Гурвиц (Швейцария) разработали этот критерий приблизительно в одно время. Отличие заключалось в алгоритме вычислений. Мы познакомимся с критерием в формулировке Гурвица.

По Гурвицу для устойчивости необходимо и достаточно, что­бы при a₀ > 0 определитель Гурвица D = D_n и все его главные миноры D₁, D₂,..., D_n-1 были строго положительны, т.е.

(2.9.4)

Cтруктура определителя Гурвица легко запоминается, если учесть, что по главной диагонали расположены коэффициенты а ₁ ,…,а_n, в строчках расположены коэффициенты через один, если они исчерпаны, то свободные места заполняются нулями.

Необходимость условия устойчивости по критерию Гурвица. Необходимость заключается в том, что, если система устойчивая, то все определители Гурвица будут строго положительными, что говорит о том, что система будет устойчивой.

Достаточность условия устойчивости по критерию Гурвица. Достаточность заключается в том, что наличие всех положительных определителей Гурвица в матрице гарантирует устойчивость, что не сложно проверить на примере.

Пример 2.9.2. Исследовать на устойчивость по Гурвицу систему с единичной отрицательной обратной связью, в прямой цепи которой включены три инерционных звена и, следовательно, передаточная функция разомкнутой системы имеет вид (2.9.5)

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы как сумму числителя и знаменателя (2.9.5):

Следовательно,

Определитель Гурвица и его миноры имеют вид

(2.9.6)

с учетом a₀ > 0 из строгой положительности определителя Гурвица и миноров (2.9.6) вытекает условие Стодолы и, кроме того, условие a ₁ a ₂ - a ₀ a ₃> 0, что после подстановки значений коэффициентов дает

(Т ₁ Т ₂ + Т ₁ Т ₃ +Т ₂ Т ₃ )(Т ₁ +Т ₂ +Т ₃ )>Т ₁ Т ₂ Т ₃ (1+k). (2.9.7)

Отсюда видно, что при увеличении k система из устойчивой может превратиться в неустойчивую, так как неравенство (2.9.7) переста­нет выполняться.

Передаточная функция системы по ошибке равна

(2.9.8)

Согласно теореме о конечном значении оригинала установившаяся ошибка отработки единичного ступенчатого сигнала будет равна 1/(1+ k). Следовательно, обнаруживается противоречие между ус­тойчивостью и точностью. Для уменьшения ошибки надо увеличивать k, но это приводит к потере устойчивости.

Дата добавления: 2014-01-15