КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Метод Крамера (определителей) решения систем линейных уравнений
Правило (метод) Крамера применяется к системам, у которых число уравнений равно числу неизвестных , т.е. . 2.1. Число уравнений и неизвестных Рассмотрим систему линейных уравнений Вычисляются определители: , , . 1. Если , то система имеет единственное решение . 2. Если , а хотя бы один из определителей , отличен от нуля, то система не имеет решений. 3. Если , то система имеет бесконечно много решений. Пример 1. Решить с помощью метода Крамера систему уравнений Решение. , поэтому СЛУ имеет единственное решение. , . Тогда ; . Пример 2. Решить с помощью метода Крамера систему уравнений: . Решение. Определитель системы равен нулю: , но один из вспомогательных определителей не равен нулю: , значит, СЛУ не имеет решений. Пример 3. Решить с помощью метода Крамера систему уравнений , , . Поэтому система имеет бесконечно много решений. Разделив коэффициенты 2-го уравнения на 3, получим: Оставим только одно из этих уравнений: . Выразим через : , значение - любое. Это и есть ответ. Придавая различные значения, будем получать бесконечное множество частных решений. Например, при получим и первое решение . При получим и второе решение , и так далее.
2.2. Число уравнений и неизвестных Рассматривается СЛУ Вычисляются определители: , , , . 1. Если , то система имеет единственное решение , . 2. Если , а хотя бы один из определителей , , отличен от нуля, то система не имеет решений. 3. Если , то система имеет бесконечно много решений.
Пример 4. Решить систему линейных уравнений . Решение. Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его: , значит, СЛУ имеет единственное решение. Найдем вспомогательные определители и значения неизвестных. Ответ: .
Рассмотрим пример, в котором СЛУ имеет бесконечное множество решений, и они будут найдены с применением формул Крамера. Пример 5. Решить СЛУ. Решение. Вычислим определитель системы: Заметим, что третье уравнение системы равно сумме первых двух уравнений, т.е. зависит от первых двух уравнений. Отбросив третье уравнение, получим равносильную систему двух уравнений с тремя неизвестными: Оставим в левой части системы те неизвестные, коэффициенты при которых образуют определитель, не равный нулю, например, . Неизвестное является свободным, а неизвестные и - базисными неизвестными. Запишем систему в виде и применим к ней правило Крамера: ; - общее решение неопределенной СЛУ, где - любое действительное число. Из общего решения можно получить частные решения, если придать свободной неизвестной какое-то конкретное значение. Например, пусть , тогда ; частное решение .
Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 10315; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |