Решение системы уравнений с помощью обратной матрицы

Матричная запись системы линейных уравнений

Матричный метод решения СЛУ

Пусть - матрица коэффициентов при неизвестных, - матрица-столбец неизвестных, - матрица-столбец свободных членов. Система уравнений с неизвестными в матричном виде запишется как (матричное уравнение системы):

.

Умножив обе части уравнения системы на обратную матрицу слева и используя свойство , получим выражение для матрицы неизвестных . Оно показывает, как найти решение системы линейных уравнений с неизвестными с помощью обратной матрицы.

Пример 6. Решить с помощью обратной матрицы систему уравнений

.

Решение. Вычислим определитель: . Так как , то система уравнений имеет единственное решение .

2) Составим обратную матрицу. Матрица существует, т.к. определитель . Найдем алгебраические дополнения .

, , ,

, , ,

, , .

Составим матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем ее. .

Разделим каждый элемент этой матрицы на определитель , получим искомую обратную матрицу: .

3) Матрица неизвестных равна произведению матрицы на матрицу свободных членов :

.

Вычислим значения неизвестных: , , .

Ответ. Система имеет единственное решение .

Дата добавления: 2014-01-15