ЛЕКЦИЯ 5. Понятие вектора. Основные операции над векторами.

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ

Определение. Система m уравнений с n неизвестными вида:

(1)

называется линейной однородной системой.

Следуя формулам Крамера, можно сделать вывод:

1). 0, m=n система имеет единственное нулевое решение.

2)., m n система имеет бесчисленное множество решений и среди этих решений могут быть и ненулевые.

Теорема. Для того, чтобы система (1) имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы её определитель = 0.

Доказательство необходимости.

Пусть система (1) имеет ненулевое решение, но

По формулам Крамера имеем:

, = = =, так как есть ненулевое решение, предположим, что это то =, а это возможно только тогда, когда.

Доказательство достаточности.

Пусть = 0, тогда в формулах Крамера,.

Возьмём r(A) < n и по теореме Кронекера – Капелли система (1) имеет бесчисленное множество решений в том числе и ненулевое.

Вывод. Однородная система уравнений всегда совместна и имеет ненулевое решение только тогда, когда определитель системы равен нулю.

Пример. Решить систему уравнений.

= 0. →

Ранг матрицы последней системы равен 2-м, а число неизвестных равно 3-м, поэтому, следуя теореме Кронекера – Капелли, 3-2=1 свободное неизвестное. Систему перепишем так: и решаем её по формулам Крамера. Для этого найдём, 2z+18z=20z, =

=-27z-z=-28z. X = = = 5z; Y = =.

Ответ. X = 5z; Y = -7z, где z любое число.

Определение. Пространство, в котором введены декартовы координаты x,y,z, так, что выполняются следующие условия:

1) разным точкам пространства соответствуют разные наборы координат;

2) каждому набору x,y,z соответствует какая – то точка Р, изучаемого пространства;

называется 3-х мерным декартовым и обозначается; – двумерное декартово пространство – плоскость; - одномерное декартово пространство – прямая. Координаты – (от латинского слова) упорядоченный, определённый.

Определение. Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок прямой.

Обозначается, А – начало, В – конец вектора или или.

Определение. Вектором называется матрица размерности (n или (1; = (n,

Длина вектора– это его модуль, абсолютная величина,обозначается,.

Определение. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают.

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной либо на параллельных прямых, их можно всегда представить

Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной

плоскости.

Определение. Два вектора называются равными, если

1) коллинеарны,

2) имеют одинаковое направление,

3) имеют равные длины.

Векторы, изучаемые в геометрии, называются свободными, так как точку приложения выбираем произвольно. Есть ещё скользящие и связные в физике и механике. Скользящие – такие, которые считаются равными, если лежат на одной прямой (сила). Связные – если, имеют общее начало и равны.

Дата добавления: 2014-01-15