Понятие базиса. Аффинные координаты

Понятие линейной зависимости векторов

Основные свойства проекций

Проекция вектора на ось

Cвойства произведения на число

Правило параллелограмма

Свойства суммы

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

Определение. Cуммой 2-х векторов называют вектор, идущий из начала первого в конец второго, при условии, что выходит из конца.

1) = +

2) () + =;

3) + =;

4) существует такой противоположный вектор.

Определение. Суммой нескольких векторов называется вектор, который замыкает ломанную линию, составленную из векторов слагаемых.

= + + +

Если векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то + сумма этих векторов представляет собой вектор, направленный по диагонали, выходящей из общего начала, а разность - направлена по второй диагонали, причём вектор разности направлен в сторону уменьшаемого.

+

Определение. Произведением вектора на вещественное число называется вектор удовлетворяющий условиям:

1) - коллинеарен вектору; 2)

3) векторы и направлены одинаково, если и противоположны, если < 0, если же =0, то = 0.

1) (+) =;

2) (;

3) =

Пример. Построить вектор =2.

Решение. 3

Определение. Ортогональной проекцией вектора = на ось называется величина отрезка А’B’ оси. Обозначается: пА’B’

B

A

k

A’ B’

Теорема. Проекция вектора на ось равна длине вектора, умноженной на косинус угла между вектором и осью.

Доказательство теоремы следует из рисунка.

1) п;

2) п п;

3) п п;

Вывод. Линейные операции над векторами сводятся к точно таким же операциям над их проекциями.

Определение. Линейной комбинацией n векторов ….. называют сумму произведений этих векторов на произвольные вещественные числа, то есть выражение вида:

, (1)

где - числа.

Определение. Векторы ….. называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа, из которых хотя бы одно не равно нулю, что линейная комбинация (1) обращается в ноль = 0.

Определение. Векторы ….. называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации (1) возможно лишь в случае, когда все = 0.

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости 2-х векторов является их коллинеарность.

Доказательство необходимости. Пусть 2 вектора и зависимы, докажем, что они коллинеарны.

По определению линейной зависимости векторов найдутся такие и, что + =0, пусть,тогда разделим на, получим +

Последнее равенство означает, что векторы коллинеарны ч.т.д.

Доказательство достаточности. Пусть и коллинеарны, то есть или это значит зависимы,ч.т.д.

Теорема 2. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости 3-х векторов является их компланарность.

Теорема 3. Любые 4-е вектора в линейно зависимы.

Определение. 3 линейно независимые вектора образуют в пространстве базис, если любой вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов, то есть

. (1)

Это разложение вектора в базисе.

Определение. Числа называются координатами вектора в базисе то есть координаты вектора это коэффициенты линейной зависимости, выражающие данный вектор через данный базис.

Определение. Базис, в котором векторы произвольны называется аффинным. 23

Теорема 1. Всякий вектор может единственным образом разложен в данном базисе.

Доказательство. Пусть

(1)

и ещё есть разложение

(2)

Вычтем из (1) (2) 0 =, так как - базис, то эта линейная комбинация выполняется тогда, когда отсюда, то есть разложения совпадают ч.т.д.

Определение. Три некомпланарных вектора с общим началом О называются аффинным базисом и обозначается { O, }.

= {

O

Определение. Вектор, соединяющий начало и точку М, называется радиусом вектором точки М.

Дата добавления: 2014-01-15