Однородные уравнения. Функция f(x,y) называется однородной степени m, если для любых x, y и t³0 выполняется равенство

Функция f(x,y) называется однородной степени m, если для любых x, y и t³0 выполняется равенство

f(tx,ty)=t^mf(x,y).

Если функции M(x,y) и N(x,y) однородные одной и той же степени m, то дифференциальное уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется однородным. Оно приводится к виду и решается подстановкой или y=ux, . Тогда или . Следовательно, или , где с¹0 - произвольная постоянная.

Пример. (x²+y²)dx+xydy=0. Данное уравнение является однородным, так как функции M(x,y)= x²+y², N(x,y)=xy однородные степени m=2. Сделаем замену y=ux, dy=udx+xdu. Тогда уравнение перепишется так: (x²+u²x²)dx+x²u(udx+xdu)=0 или (1+2u²)dx+uxdu=0.

Разделяя переменные, получим

.

Так как у нас , то .

.

Дата добавления: 2014-01-15