Материал основной части лекции

ПЛАН

Владимир 2012

Л Е К Ц И Я

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для бакалавров направления 080100.62 «Экономика»

Тема № 3. Основы математической статистики

Занятие № 3.1.Основные понятия математической статистики.

Вид занятия: лекция (15)

Литература: 1). Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб.пособие для вузов.- 12-е изд.,стер.-М.: Изд-во Юрайт;ИД Юрайт,2012-479 с. (187-196). 2.) Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник М.: ACADEMIA, 2003-572с .(127-155). 3) Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов: Уч.пособие/А.М. Карлов. – М.: КНОРУС, 2011. -264 с. (203 -242) 4 .) А.И.Герасимович, Я.И.Матвеева Математическая статистика. Мн., «Вышэщ.школа», 1978-200 с. (5-12).

проведения занятия

№ п/п	Учебные вопросы занятия	Время, мин.
I. II	Вводная часть: Объявление темы, темы занятия. Постановка учебных целей занятия. Основная часть.	2-3
	1. Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. 2. Статистический ряд. Статистический закон распределения случайной величины. 3. Эмпирическая функция распределения. Графическое представление статистических рядов.
	Заключительная часть	2-3
	Подведение итогов занятия. Выдача задания на самостоятельную работу.

1. Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.

1.1 Предмет и задачи математической статистики

Теория вероятностей и математическая статистика занимаются количественным и качественным анализом закономерностей случайных массовых явлений. При изу­чении курса теории вероятностей предполагалось, чтове­роятности наступления отдельных событий известны. Считались известнымизаконы распределения случайных величин или их числовые характеристики.

Как правило, на практике вероятности наступления событий, законы распределения случайных величин или параметры этих законов распределения неизвестны. Для их определения (оценивания ) необходимо производить эксперимент, спе­циальные испытания.

Математическая статистикаразрабатывает методы математической обработки результатов (экспериментов) испытанийс целью получения сведений о вероятностях наступления отдельных событий, о законах распределения случайных величин или параметрах этих законов.

При обработке результатов эксперимента статистиче­скими методами основные понятия теории вероятно­стей — вероятность наступления случайного события, законы распределения случайных величин, параметры за­конов распределения случайных величин и т. д. высту­пают как некоторыематематические модели реальных закономерностей.

Таким образом, теория вероятностей разрабатывает математические модели, необходимые для описания реальных закономерностей случайных массовых явлений, формирует систему взглядов на статистическую обработ­ку результатов эксперимента.

Основой статистических методовявляются экспери­ментальные данные, часто называемые статистическими данными.

Статистическими данныминазывают сведения об различных объектах материального мира и сфер жизнедеятельности человека (в том числе и экономике), обладающих теми или иными признаками и полученные экспериментальным путём. Например,статистическими данными являются: данные о финансовой и экономической деятельности всевозможных предприятий и организаций, данные о банковской системе государства, данные о налогах и сборах и т.д и т.п.

Все перечисленные данные и другие статистические данные являютсячисловыми характеристиками массовых случайных явле­ний, поэтомупредметом математической статисти­ки являются случайные явления,а ее основной зада­чей— количественный и качественный анализы этих явлений.

Различные авторы учебной литературы по математической статистикевыделяют различное количество и содержание основных (типичных) задач математической статистики – 2-е (В.Е. Гмурман), 3-и (Е.С. Вентцель), 6-ть (А.Г. Герасимович) и более.

Так, например, В.Е.Гмурман, выделяя две основные задачи математической статистики, к первой из них относит – указание способов сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов, а ко второй – разработка методов анализа статистических данных в зависимости от целей исследования.

Е.С.Вентцель, к типичным задачам математической статистики, часто встречаемых на практике, относит, к первой – задача определения закона распределения случайной величины (или системы случайных величин) по статистическим данным; к второй – задача проверки правдоподобия выдвинутых гипотез о принадлежности имеющихся статистических данных к тому или иному теоретическому закону распределения; и к третьей задаче – задача нахождения неизвестных параметров статистического материала.

А.Г. Герасимович считает, чтоосновные задачи математической статистикисостоят в разработке методов:

1) организации и планирования статистических на­блюдений;

2) сбора статистических данных;

3) «свертки информации», т. е. методов группировки и сокращения статистических данных с целью сведения большого числа таких данных к небольшому числу пара­метров, которые в сжатом виде характеризуют всю иссле­дуемую совокупность;

4) анализа статистических данных;

5) принятия решений, рекомендаций и выводов на основе анализа статистических данных;

6) прогнозирования случайных явлений.

Анализ точек зрения по вопросу основных задач математической статистики, указанных, например, авторов,позволяет сделать вывод о том, чтовсе эти точки зрения верны и обоснованы, пожалуй, лишь одни авторы смотрят на эти задачи более широко (или шире),а другие более конкретно и специализированно к тому профилю которым они занимаются.

В практике статистических наблюдений различных объектов в настоящее время человечество использует 2 метода наблюдений: 1-й - сплошной, предусматривающий проведение обследований (изучение) всех однородных объектов совокупности относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты;2-й – выборочный, предусматривающий проведение обследований (изучение) лишь части (ограниченного количества) однородных объектов из всей совокупности.

1-й - сплошной метод на практике, применяют сравнительно редко, что часто обусловлено при его применении либо большими финансовыми, материальными и временными затратами, либо связано с уничтожением объектов статистического наблюдения. Поэтому о дним из основных методов статистического наблю­дения, является 2-й выборочный метод.

Рассмотрим основ­ные понятия этого метода.

1.2 Генеральная и выборочная совокупности

Пусть для исследования закономерностей случайного объекта(процесса, явления, материального объекта и других) произведено «n» опытов, в результате которых получен ряд наблюдений , некоторого количественного или качественного его признака.Например, количество электроэнергии, потреблённое ОАО «Автоприбор» за каждый день в прошедшем квартале. Требуется обработать этот ряд статистически.

Для любой статистической обработкинадо вначале построить математическую модель ряда наблюдений, т. е. указать, какие величины случайны, какие не случайны, какие зависимы, какие не­зависимы и т. д.

Для результатов наблюдений можно построить различные математические модели.Рассмотрим, например, математическую модель, в которой ряд наблюдений задаётся формулой:

(1.1)

где - значение некоторой детерминированной переменной, характеризующей - й опыт (например, астрономическое время снятия показаний со счётчиков электрической энергии во всех цехах, зданиях и сооружениях ОАО «Автоприбор»); - некоторая функция определённого вида, характеризующего - й опыт в момент времени ; - случайная величина, обычно называемая ошибкой - го эксперимента (например,инструментальная ошибка счётчика электрической энергии).

Относительно ошибок в модели ряда наблюдений, задаваемого формулой (1.1) можно делать различные предположения.Допустим,мы будем исходить из наи­более простых предположений относительно функции и ошибок . С этой целью положим в общей модели ряда наблюдений, задаваемого формулой (1.1), значение причём систематическую ошибку ,присутствовавшую при наблюдениях за показаниями электросчётчиков,примем равной нулю, т.е. Тогда, в этом частном случае, математическая модель ряда наблюдений примет более простой вид:

(1.2)

где - результаты наблюдения некоторой постоянной величины (например,показания счётчиков электрической энергии на ОАО «Автоприбор»,причем эти результаты организованы таким образом, что систематические ошибки достаточно малы и ими можно пренебречь, а колебания результатов измерений объясняются случайными ошибками . Далее, наложим на случайные ошибки простейшие статистические предположения - ошибки независимыми, а измерения – выполненными в одинаковых стабильных условиях – т.е. измерения равноточные.

Если эти предположения выполнены, тоисследуемое случайное явление, обладающее количественным призна­ком Χ (количество электроэнергии, потреблённое ОАО «Автоприбор» за каждый день в прошедшем квартале),будем рассматривать как одномерную случайную вели­чину X(CB X).

Поставим задачу - оценить функцию распределения исследуемой СВ Х,т.е. построить уточнённую вероятностную модель ряда наблюдений которая бы отражала в себе основные статистические особен­ности этого ряда.

Чаще всего, как говорилось ранее неоднократно, полагают, что ошибки измерения имеют нормальный закон распределенияс параметрами – МОЖ (а) и СКО (σ). Поэтому,при этом предположении плотность вероятности исследуемой СВ Х имеет вид:

(1.3)

Таким образом, построив нормальную модель ряда наблюдений, затем про­изводят оценку параметров α и σ вероятностной модели ряда наблюдений.

Наиболее точные сведения о случайной величине X можно получить, производя максимально возможное ко­личество измерений этой случайной величины. Поэтому в математической статистике, для данных случаев статистических наблюдений, используют понятие генеральной совокупности.

Генеральной совокупностьюназыва­етсясовокупность всех мыслимых наблюдений, которые могли бы быть сделаны при данном реальном комплексе условий измерений.

Число членов, образующих генераль­ную совокупность, называетсяобъемом генеральной сово­купности.

В значительном количестве случаевмы можем произвести сколь угодно много наблюдений случайной величины X, т. е. ге­неральная совокупность бесконечна. Однако в некото­рых случаях, например, при контроле заработной платы сотрудников на предприятии, генеральная совокупность состоит из конечного числа(например, сотрудников).

Принято выделять три основных типа генеральной со­вокупности:

1) конечно и реально существующая, например, число предприятия (организации);

2) бесконечно и реально существующая, например, множество действительных чисел, лежащих между ну­лем и единицей;

3) воображаемая (гипотетическая) конечная или бесконечная, например, количество находящихся в обращении на территории России денежных купюр достоинством 50 рулей.

Не редко, под генеральной совокупностью понимаютдругое определение, а именно,генеральная совокупностьэто совокупность объектов, из которых производится выборка.

Выборочной совокупностьюили простовыборкой объема «n»называетсясовокупность «n» объ­ектов, отобранных из исследуемой генеральной совокуп­ности.

Иногда используют другое понятие выборки: Выборка это совокупность случайно отобранных объектов.

Ряд наблюдений принято рассматриватькак выборку объема «n» из конечной или бесконечной ге­неральной совокупности.

Таким образом, можно дать следующее определение выборочного метода.

Выборочный методэто метод статистических наблюдений, состоящий в том, что на основании характеристик и свойств выборки делаются заключения о числовых характеристиках и законе распределении случайной величины Х .

1.3 Виды выбороки способы отбора объектов для них

При составлении выборкиможно поступатьдвумя способами:после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, 1 ) либо он может быть возвращен,2) либо не возвращенв генеральную совокупность. По этой причине, выборки подразделяют на: повторные и бес­повторные.

Повторнойназывают выборку, при которой отобран­ный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторнойназывают выборку, при которой отобран­ный объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике обычно пользуются бесповторным слу­чайным отбором.

Если объем генеральной совокупности достаточно ве­лик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности,то различие между повторной и бес­повторной выборками стирается.

Для того чтобы по данным выборки можно было до­статочно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли.

Это требование коротко формули­руют так: выборка должна быть репрезентативной (пред­ставительной),т. е. достаточно хорошо пред­ставляла исследуемую случайную величину.

В силу закона больших чисел можно утверждать, чтовыборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно:каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности; если все объекты имеют оди­наковую вероятность попасть в выборку.

Существуют специально разработанныеметоды получения репрезен­тативных выборок,суть которых сводится к тому, чтобыпри извлечении выборки каждый элемент генеральной совокупности имел одинаковую с другими элементами вероятность быть включенным в выборку. Другими сло­вами, выбор элементов из генеральной совокупности дол­жен быть случайным.

Случайность выборки обеспечива­етсяприменениемразличных способов отбора объектов наблюдения для выборки, которые можно разделить на2 вида:

1. Отбор,не требующий разбиения генеральной со­вокупности на части (простой отбор).Сюда относятся: а) простой слу­чайный бесповторный отбор; б) простой случайный по­вторный отбор; в) простой слу­чайный отбор с помощью случайных чисел.

2. Отбор, при котором генеральная совокупность раз­бивается на части (отбор с разбиением генеральной совокупности на части). Сюда относятся: а) типический отбор; б) механический отбор; в) серийный отбор.

Рассмотрим 1-й вид отбора.

Простым отбором называют такой отбор, при ко­тором объекты извлекают по одному из всей генераль­ной совокупности.

Простой отборможно осуществить различными 3 -мя способами (а, б, в).

а) Простой случайный по­вторный отбор, применяемый для небольшого объёма генеральной совокупности.

Например,для извлечения п объ­ектов из генеральной совокупности объема Nпоступают так: выписывают номера от 1 до N на карточках, которые тщательно перемешивают, и наугад вынимают одну кар­точку; объект, имеющий одинаковый номер-с извлеченной карточкой, подвергают обследованию; затем карточку возвращают в пачку и процесс повторяют, и т. Д. Так поступают п раз –в итоге получаютпростую случайную повторную выборку объема п.

б) Простой случайный бесповторный отбор применяется для небольшого объёма генеральной совокупности, аналогичен простому случайному по­вторному отбору, лишь за тем исключением, что извлеченные карточки не возвращаются в пачку.

в) Простой слу­чайный отбор с помощью случайных чисел применяется для большого объёма генеральной совокупности, причём может быть как с повторным, так и бесповторным отбором объектов.

При использовании случайного отбора с помощью случайных чисел пользуютсялибо готовыми таблицами «случайных чисел», в которых числа расположены в случайном порядке, либо используют генератор случайных чисел и еалиизуют метод Монте-Карло.

Для повторного отбора выборки, при использовании таблиц «случайных чисел», например,чтобы отобрать50 объектов из пронуме­рованной генеральной совокупности, открывают любую страницу таблицы случайных чисел и выписывают под­ряд 50 чисел;в выборку попадают те объекты, номера которых совпадают с выписанными случайными числами.Если бы оказалось, что случайное число таблицы пре­вышает число N, то такое случайное число пропускают.

При осуществлениибесповторного отбора выборки, в отличии от повторного отбора выборки случайные числа таблицы, уже встречавшиеся ранее, следует пропускать.

Рассмотрим 2-й вид отбора выборки - Отбор с разбиением генеральной совокупности на части.

Как указывалось выше, к данному отбору относятся: а) типический отбор; б) механический отбор; в) серийный отбор.

а) Типическимназывают отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например,если оценивается уровень заработной платы на крупном предприятии,то отбор производят не из всех сотрудников предприятия, а из сотрудников типичных подразделений этого предприятия (управленческого персонала, сотрудников производственных подразделений, сотрудников вспомогательного персонала).

Как правило,типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности.

б) Механическимназывают отбор, при котором генераль­ную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект.Например,если нужно отобрать 20% депозитных вкладов населения в банке, то отби­рают каждый пятый депозитный вклад;если требуется отобрать 5% депозитных вкладов населения в банке, то отбирают каждую двадцатый депозитный вклад, и т. д.

Следует заметить, что иногда механический отбор может не обеспечить репрезентативности выборки.

в) Серийнымназывают отбор, при котором объекты от­бирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследова­нию. Например,если оцениваются пенсионные вклады населения в городе, в субъекте государства, в регионе, в целом в стране,то подвергают сплошному обследованию пенсионные вклады только нескольких банков.

Серийным отбором пользуются тогда, когдаобследуемый признак колеблется в различных сериях незначитель­но.

На практике часто применяетсяком­бинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы. Например,иногда разбивают генеральную совокупность на серии одинакового объема, затем простым случайным отбором выбирают несколько серий и, наконец, из каждой серии простым случайным отбором извлекают отдельные объекты.

2. Статистический ряд. Статистический закон распределения случайной величины

Предположим, что изучается некоторая дискретная или непрерывная случайная величина,закон распределе­ния которой неизвестен. Для оценки закона распределе­ния этой случайной величины или его числовых характеристик, отбирается выборка и производится ряд независимых измерений (наблюдений) . Наблюдаемые значения называютвариантами.

Статистический материал,полученный в результате измерений (наблюдений),представляют в виде таблицы, состоящей из двух строк, в первой из которых даны номера измере­ний, а во второй — результаты измерений (см. табл.2.1).

Таблицу указанного вида называютпростым стати­стическим рядом. Он представляет собой первичную фор­му представления статистического материала.

Таблица 2.1

Простой статистический ряд

Статистический материал в виде простого статисти­ческого ряда при большом числе измеренийтрудно обозрим,по нему практически невозможно оценить закон распределения исследуемой СВ X. Поэтому для визуаль­ной оценки закона распределения исследуемой СВ Χ про­изводят группировку данных.

Если изучается дискретная случайная величина, то наблюденные значения распола­гаются в порядке возрастания (или убывания) и подсчитываются частоты (число наблюдений значения, т.е. варианты ) или частости (относительные частоты - отношение частоты к объёму выборки n ) появления одинаковых значений случайной величины Х.

В результате получаемсгруппиро­ванные статистические рядыследующего вида (таблица частот – табл.2.2, а таблица частостей (относительных частот) – табл.2.3:

Таблица 2.2

Статистический ряд частот

Таблица 2.3

Статистический ряд относительных частот (частостей)

Если изучается непрерывная случайная величина, то группировка заключается в разбиении интервала наблюдённых значений случайной величины на k частичных интервалов равной длины и подсчёте частоты или относительной частоты (частости) попадания наблюденных значении в частичные интервалы.Количество интервалов выбирается произвольно, обычно не меньше 5 и не больше 15.

Примечание. Для выбора оптимальной длины интервалов, т. е. такой длины частичных интервалов,при которой статистический ряд не будет очень громоздким и в нем не исчезнут особенности исследуемой случайной величины, можно рекомендовать, например, формулу:

где n — объем выборки; h — длина частичного интервала.

В результате составляетсяинтервальный статистичес­кий рядследующего вида (см. табл.2.4):

Таблица 2.4

Интервальный статистичес­кий ряд

Таким образом, можно дать следующее определение статистического закона распределения случайной величины:

Перечень вариант (наблюденных значений слу­чайной величины Χ или интервалов наблюденных значений) и соответствующих им частот (частостей) называется статистическим законом распределения случайной вели­чины X.

Заметим, что в теории вероятностей под законом рас­пределения случайной величины понимают соответствие между возможными значениями (или интервалами воз­можных значений случайной величины) и их вероятно­стями, а в математической статистике статистический закон распределения устанавливает соответствие между наблюденными значениями (или интервалами наблюден­ных значений) случайной величины и соответствующими им частостями (частотами).

Статистические законы распределения случайных ве­личин и их графическое изображение,которое мы будем рассматривать позже, позволяют визуально произвести оценку закона распре­деления исследуемой случайной величины и выдвинуть гипотезу о принадлежности его к тому или иному теоретическому закону распределения известному в теории вероятностей .

Дата добавления: 2014-01-15