Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид:

(1)

Ему соответствует характеристическое уравнение с постоянными коэффициентами. Поэтому характеристиками будут прямыми линиями

,

С помощью соответствующего преобразования переменных уравнение (1) приводится к одной канонических форм:

(2)

(3)

(4)

Для упрощения вводим новые функции V таким образом, что ,

Где и – неизвестные постоянные.

Дифференцируем уравнение, получаем

Сокращаем на и вводим , и полученные выражения подставляем в (2) – это уравнение эллиптического типа.

Если выбрать , , .

Окончательно уравнение (2) принимает вид:

(5)

Для уравнения параболического типа (4) будет свой набор

,

Окончательно уравнение (4) принимает вид:

(6)

Для уравнений гиперболического типа (3) возьмём вторую форму.

, , .

Окончательно уравнение (3) принимает вид:

(7)

, ,

При помощи линейных преобразований можно свести эту систему одновременно для всех точек области приведенных к каноническому виду.

Замена

Выбираем рациональным образом . Далее можно прийти к более простым формам независимых переменных.

Дата добавления: 2014-01-15