Формула полной вероятности. Теорема сложения вероятностей совместных событий

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Пример 14. Игральная кость брошена 1 раз. Найти вероятность того, что выпадет «2» или чётное число.

Решение: Вероятность того, что выпадет «2» (А) Р(А) = 1/6.

Вероятность выпадения чётного числа (событие В) Р(В) = 1/2.

События А и В – совместные, Р(АВ) = 1/6.

Искомая вероятность Р(А+В) = .

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_п, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А) = Р(В₁)∙Р_В1(А) + Р(В₂)∙Р_В2(А) +…+ Р(В_п)∙Р_Вп(А) - формула полной вероятности.

Пример 15. Даны 3 ящика I-го типа, содержащие по 2 белых и по 6 чёрных шаров, и 1 ящик II-го типа, содержащий 1 белый и 8 чёрных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается 1 шар. Найти вероятность, что вынутый шар – белый.

Решение: Обозначим событие А – «извлечённый шар является белым».

Шар может быть извлечён из ящика I-го типа (событие В₁) или из ящика II-го типа (событие В₂). События В₁ и В₂ несовместимы.

Вероятность того, что шар извлечён из ящика I-го типа, Р(В₁) = 3/4; из ящика II-го типа Р(В₂) =1/4.

Условная вероятность того, что из ящика первого типа будет извлечён белый шар, Р_В1(А) = 2/8 = 1/4.

Условная вероятность того, что из ящика второго типа будет извлечен белый шар, Р_В2(А) = 1/9.

Т.о. по формуле полной вероятности, вероятность того, что наудачу извлечённый шар – белый, равна Р(А) = Р(В₁)∙Р_В1(А) + Р(В₂)∙Р_В2(А) = .

Дата добавления: 2014-01-15