Общий случай задачи оптимизации

Вначале остановимся (чтобы понять суть) на самом простом примере.

Необходимо спроектировать бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, объем которого

где а, в, с - стороны бака.

Требуется определить размеры бак, объемом 2000, чтобы на его изготовление пошло как можно меньше материала, площадь которого

Т.е. нам необходимо минимизировать величину S при условии, что V=2000/

Или Z=S = 2*[a*b+(a+b)*h] Þmin, a*b*h=2000

К этому очевидно стоит добавить очевидное, что все стороны прямоугольника должны быть положительны, т.е. а,b,с>0.

Вторая задача, как спроектировать бак, чтобы длина сварного шва была минимальной, т.е.

Z=L=2*(a+2*b)+hÞmin, т.е выбрать заданный вариант в заданном смысле.

Одна и та же практическая задача в зависимости от постановки и математического описания может приводить к разным задачам оптимизации.

Если обозначим через х₁ =а, х₂ =b, х₃ =h, тогда

Z=F=2*[x₁ *x₂ +(x₁ + x₂ )*x₃ ]Þmin

x₁* x₂* x₃= 2000

x₁, x₂, x₃>0

В общем случае задача оптимизации запишется в следующем виде:

Здесь

Ø ЦФ – целевая функция или критерий оптимизации показывает, в каком смысле решение должно быть оптимальным, т.е. наилучшим. При этом возможны 3 вида назначения целевой функции
·максимизация
·минимизация
·назначение заданного значения

Ø ОГР – ограничения устанавливают зависимости между переменными. Они могут быть

·как односторонние

·так и двухсторонние

Ø ГРУ – граничные условия показывают, в каких пределах могут быть значения искомых переменных в оптимальном решении.

Решение задачи, удовлетворяющее всем ограничениям и граничным условиям, называется допустимым.

Важной характеристикой задачи оптимизации является ее размерность, определяемая

¨ Числом переменных «n»

¨ И числом ограничений «m»

Непременное требование для задач оптимизации это n>m

Объясним это.

Между n и m возможны соотношения:

1) n<m

Например: Есть ограничения

х₁ + 2 = 5

х₁ - 8 = 15

Получим из первого ограничения х₁=3, из второго х₁=7. Здесь n=1, m=2. Очевидно, что такие задачи решения (ограничения) не имеют.

2) n=m

Например

х₁ + х₂ = 5

х₁ - х₂ = 1

Здесь n=2, m=2. Такое соотношение n и m – это необходимое условие для решения системы уравнений. Такую систему, можно рассматривать, как задачу оптимизации, имеющую одно допустимое решение, и решать ее как обычную задачу оптимизации, назначая в качестве целевой функции любую переменную.

3) n>m

Например

х₁ + х₂ = 5;

Здесь n=2, m=1. В этом случае может быт бесчисленное множество значений х₁ , х₂ , которые удовлетворяют данному уравнению.

Задача имеет оптимальное решение, если она удовлетворяет двум требованиям:

1) Существуют допустимые решения (т.е. решения, удовлетворяющие всем ограничениям и граничным условиям)

2) Есть целевая функция, показывающая в каком смысле принимаемое решение должно быть оптимальным, т.е. наилучшим из допустимых.

Совокупность неизвестных величин , действуя на которые, систему можно совершенствовать, называют планом задачи.

План Х, удовлетворяющий ограничениям задачи, называют допустимым.

Допустимый план, доставляющий функции цели (целевой функции) экстремальное значение, называют оптимальным.

Так и в жизни. Каждый шаг человека, каждое принимаемое решение – это зачастую неосознанное действие для того, чтобы получить оптимальный результат.

И не случайно это естественное поведение человека нашло отражение в пословицах:

¨ «Рыба ищет, где глубже, а человек – где лучше» - что соответствует задаче максимизации.

¨ «Из двух зол выбирают меньшее» - задаче минимизации.

Дата добавления: 2014-01-15