Діючі значення та потужність при несинусоїдальних напругах і струмах

Діючі значення несинусоїдального струму визначаються як і для синусоїдального струму по рівності змінного струму і потужності постійного струму в тому ж опорі R

,

тобто діюче значення періодичного змінного струму є середньоквадратичим значенням за період.

.

Після підстановки в цей вираз значення струму і у вигляді ряду Фур’є

.

Інтеграл може бути представлений у вигляді суми інтегралів виду

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Значить

тобто, діюче значення струму дорівнює кореню квадратному із суми квадратів постійної складової і із діючих значень струмів всіх гармонік, і не залежить від їх початкових фаз.

По аналогії і діюче значення напруги

.

Важливою характеристикою кривої є середнє значення її абсолютної величини за період

.

Миттєва потужність Р після розкладу напруги і струму І в ряді Фур’є отримають вид

.

Таким чином, має постійну складову і синусоїдальні складові , що мають частоту і середнє значення . Крім того, в кривій Р містяться синусоїдальні складові виду і , що мають частоту , середнє значення яких дорівнює сумі середніх потужностей, створених однойменними гармоніками напруги і струму.

Якщо при синусоїдальній напрузі і струмі повна потужність і реактивна потужність мали визначений фізичний зміст як амплітуди синусоїд відповідних миттєвих потужностей, то при складній формі кривих напруги та струмів чіткі визначення Q і S дати неможливо і вони можуть бути чисто умовними. При відсутності постійних складових приймаються значення повної потужності як діючі значення напруги та струму

.

По аналогії з активною потужністю під реактивною потужністю розуміють алгебраїчну суму реактивних потужностей окремих гармонік

.

Тоді вводять поняття потужності викривлення Т, що визначається із співвідношень

.

В приблизних розрахунках при відсутності в кривих напруги і струму постійних складових іноді оперують з еквівалентними синусоїдами, що мають ті ж діючі значення напруги і струму, що і задані криві. Ці синусоїди повинні бути здвинуті на кут. при якому середня потужність буде такою ж, тобто . Тоді cos називають коефіцієнтом потужності, потужність визначена із трикутника потужностей як

.

Для проведення розрахунків струм ІДС або напруга ІДН повинні бути представлені рядом Фур’є.

Відповідно до принципу накладання миттєве значення струму будь-якої гілки схеми дорівнює сумі миттєвих значень струмів окремих гармонік. Аналогічно миттєве значення напруги на будь-якій ділянці схеми дорівнює сумі миттєвих значень напруги окремих гармонік на цій ділянці. Розрахунок проводять для кожної з гармонік окремо, використовуючи методи розрахунку кіл при постійному струмові та метод комплексних амплітуд.

Спочатку розраховують струми і напруги, які виникають під дією постійної складової е.р.с. або джерела струму, після цього – струми та напруги від дії першої гармоніки, потім другої, третьої тощо.

При розрахунках струмів та напруг, які виникають під дією постійної складової е.р.с., необхідно мати на увазі, що падіння напруги на індуктивності L від постійного струму дорівнює нулю, а також, що постійний струм через ємність С не проходить.

При розрахунках слід враховувати, що індуктивний опір прямо пропорційний частоті f, тому для к_і гармоніки в к разів більше, ніж для третьої гармоніки

, .

Емітер ний опір з , тому для к_і гармоніки в к разів менше, ніж для першої гармоніки

.

Для кожної гармоніки можна побудувати векторну діаграму. Однак, відкладати на векторній діаграмі струми та напруги різних частот недопустимо, оскільки кутові швидкості обертання векторів різних частот різні. Активні опори вважають від частоти незалежними.

При розрахунках кожну гармоніку виражають комплексним числом. Додавання однойменних гармонік проводять шляхом додавання комплексних чисел або векторів на комплексній площині.

Таким чином, для розрахунку складних лінійних кіл може бути застосований метод накладання: після розкладання кривих заданих напруг і струмів в ряд Фур’є вони записуються в його першій формі і задача вирішується для кожної гармоніки окремо; при цьому опори гілок для кожної гармоніки в загальному випадку будуть різними – задачі для окремих гармонік розв’язуються типово і при їх розв’язанні може бути використаний весь апарат теорії синусоїдальних струмів – векторні діаграми, символічний метод тощо. Потім можна провести накладання рішень для миттєвих значень окремих гармонік- напруг і струмів кожної гілки та обчислити їх діючі значення і потужність.

Наприклад, в колі, що складається із послідовного поєднання опорів r, індуктивності L і ємності С, повний опір і кут зсуву фаз для гармоніки порядку R будуть

; .

Для одної із гармонік це коло може опинитись в резонансі тоді, якщо порядок цієї гармоніки n, то

; ; =0.

Тоді для решти гармонік

при ; ; .

При ; ;

Значення індуктивності, при якій відбувається резонанс

.

Тому, якщо у колі, що живиться несинусоїдальною напругою, є збільшення L, починаючи від нуля, то буде відбуватись резонанс на окремих гармоніках, починаючи з вищої.

При достатньо малому r струм резонансної гармоніки буде відносно великим крива залежності діючого значення струму від індуктивності, так як буде мати ряд максимумів, що відповідають окремим гармонікам напруги. Аналогічну залежність отримаємо і при зміні ємності.

Для розрахунку більш складного кола при заданій у вигляді ряду Фур’є напрузі або струму доцільно застосовувати символічний метод. Вирішуючи цю задачу за допомогою методу перетворення спочатку підраховують комплексний опір всього кола для окремих гармонік по заданих r, L, С і частоті w. Для постійної складової воно дорівнює r, для гармонік R

.

Потім по заданих комплексах гармонік напруги всього кола обчислюються комплекси гармонік струму всього кола, а після цього – комплекси гармонік напруги правої ділянки

.

і струмів в розгалуженні. Від символічного запису всього кола легко перейти до миттєвих значень для окремих гармонік і до миттєвого значення всієї величини – сумі гармонік, а також до діючого значення.

Середня (активна) потужність кола, яке розглядається, дорівнює , де І_а – діюче значення струму гілки з опором r.

5. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО СПЕКТРАЛЬНИЙ МЕТОД АНАЛІЗУ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ.

В радіотехніці та радіоелектроніці маємо справу з різними сигналами та різноманітними, частіше – інерційними, лінійними колами. При передачі сигналів по таких колах виникають перехідні процеси. Тому сигнал, який діє на виході пристрою, відрізняється від сигналу на його вході. В радіотехніці, радіолокації, імпульсній техніці основне значення має вплив перехідних процесів на форму сигналу. В радіотехнічних системах в кінцевому результаті це визначає вплив на інформацію, яка є в сигналі. В радіотехніці задача дослідження процесів у системі найчастіше формується як задача дослідження особливостей проходження сигналу через коло. Більшість радіотехнічних пристроїв є сукупністю лінійних та нелінійних елементів. Ці обставини ускладнюють задачу строгого розгляду перехідних процесів у радіолокації, тому що класичні методи аналізу, які засновані на використанні принципів суперпозиції, є лінійними. Враховуючи, що багато пристроїв в радіотехніці можна розглядати як лінійні, тому і лінійні методи знаходять на практиці широке застосування для аналізу дій сигналів на реальні пристрої. В таких пристроях для аналізу здійснюється:

a. по-перше, виділення лінійних кіл, які розглядають окремо від нелінійних елементів;

b. по-друге, при розгляданні проходження сигналів через коливальні кола, які мають високу частотну вибірковість, можливо суттєво спростити сам метод аналізу допущенням про повільність змінювання амплітуд, і застосувати при цьому лінійні методи.

Безпосередньо задача дослідження особливостей проходження сигналу через кола може бути вирішена різними шляхами, а само:

c. класичним часовим або оператор ним методом накладання з використанням часових характеристик кола, тобто методом інтегралу згортки;

d. методом накладання з використанням частотних характеристик кола та діючих сигналів – частотним або спектральним методом.

Отримання відгуку кола класичним або оперативним методом інтегралу накладання було розглянуто раніше. В даній темі розглянемо аналіз проходження сигналів спектральним методом, який дозволяє робити висновки про частотні властивості досліджуємого кола та може бути проведений як в області дійсних величин, так і з використанням комплексної площини.

Сутність спектрального методу полягає в наступному: сигнал, діючий на коло, представляється у вигляді сукупних гармонічних діянь. Сигнал, який з‘являється на виході кола, у відповідності із принципом накладання, визначається як сума гармонічних реакцій, викликаних кожною з гармонічних складових вхідного сигналу окремо. Оскільки в основі спектрального методу лежить принцип накладання, то такий метод є лінійним, він є вірним для рішення задач аналізу проходження сигналів через лінійні кола.

Аналіз проходження сигналів через лінійні електричні кола спектральним методом здійснюється шляхом послідовного рішення наступних задач:

1. Знаходять спектр сигналу на вході електричного кола. При цьому для періодичних сигналів визначають комплексні амплітуди гармонік у відповідності з виразом для ряду Фур‘є, для неперіодичних сигналів знаходять спектральну щільність відповідно з виразом для інтегралу Фур‘є.

2. Визначають комплексну передаточну функцію кола K(jω) та скориставшись співвідношенням

,

де та - комплексні амплітуди вхідної та вихідної величини (діяння та реакції), які змінюються за синусоїдальним законом для періодичного сигналу чи співвідношенням X(jω) = S(jω)×K(jω) для неперіодичного сигналу на виході кола.

3. Визначають вихідний сигнал, як суму членів ряду Фур‘є для періодичного сигналу чи як інтеграл Фур‘є для неперіодичного.

Таким чином, задача, по суті, зводиться до аналізу сталих режимів у колі при синусоїдальному впливі. Значення гармонічних складових вихідного сигналу легко знаходяться, якщо відомі спектр вхідного сигналу та частотні характеристики кола. Так, як в основі спектрального методу лежить принцип накладання, такий метод є лінійним; він є вірним для рішення лінійних задач, задач аналізу проходження сигналів через лінійні кола. З іншої сторони. Частотні характеристики лінійного кола знаходять. Як відомо, для кіл, які не містять початкових запасів енергії та незалежних джерел енергії.

Тому застосування спектрального методу обмежується розгляду такого вигляду кіл. Але все ж таки до такого випадку можливо звести рішення більшості практичних задач. Якщо коло включає до свого складу незалежні джерела чи початкові запаси енергії, то їх вплив на процеси враховуються окремо, наприклад, класичним чи оператор ним методом. Для цього внутрішня ЕРС джерела вхідного сигналу дорівнює нулю, враховується лише його внутрішній опір. А впливом вважається заряд ємності чи струм в індуктивності, враховуючи запаси енергії та незалежні джерела енергії.

6. ЗВ‘ЯЗОК МІЖ СПЕКТРАМИ СИГНАЛІВ НА ВХОДІ ТА ВИХОДІ ЕЛЕКТРИЧНОГО КОЛА.

2.1. Розрахунок проходження сигналів з дискретним спектром через лінійне електричне коло.

Нехай на вході лінійного пасивного 4-полюсника

діє вхідний несинусоїдальний періодичний сигнал з періодом Т у вигляді напруги U_вх(t) або струму і_вх(t), які можуть бути представлені рядом Фур‘є у вигляді суми нескінченного числа гармонік, або спектром цього сигналу

в якому - комплексна амплітуда n-ої гармоніки на частоті nΩ = n2π/Т.

Потрібно визначити вихідний сигнал x(t), якщо задана КПФ ЕК K(jω)=K(ω)e^jφ(ω), або задана конфігурація кола і параметри його елементів за якими можна визначити КПФ на кожній з частот nΩ на якій представляється вхідний сигнал S(t).

K(jnΩ)=K(nΩ)e^{jφ(nΩ )};

Враховуючи умову задачі та відомі з попередніх розділів визначення КПФ, а саме

,

Δφ(ω) = Ψ_вих(ω) – Ψ_вх(ω).

Оскільки сигнал, який діє на вході 4-полюсника має періодичний характер, то його можна представити дискретним спектром

, в якому

.

Оскільки сигнал на вході 4-полюсника має дискретний спектр, то можна записати і вираз стосовно кожної гармоніки і для КПФ ЕК.

K(jnΩ)=K(nΩ)e ^{jφ(nΩ )};

Враховуючи отримані вирази, та використовуючи суть спектрального методу аналізу електричних кіл, відгук лінійного 4-полюсника на вхідний сигнал періодичного характеру, комплексна амплітуда матиме вигляд:

.

В часовій Області відгук складатиметься з суми гармонік, визначених за попереднім співвідношенням

Для дійсних частот, коли вхідний сигнал представити в дійсній формі

,

вихідний сигнал матиме вигляд:

Т.ч. для визначення спектральних складових відгуку ЕК на вхідне діяння у вигляді періодичного сигналу, на виході лінійного кола необхідно:

1. Вхідний сигнал представити у вигляді комплексного ряду Фур‘є.

2. Визначити КПФ K(jω) кола.

3. Амплітуду кожної з гармонік вхідного сигналу помножити на відповідні значенні модуля КПФ.

4. До початкових фаз вхідних спектральних складових додати відповідні значення аргументу КПФ.

5. Записати вираз для відгуку кола x(t) відповідно до принципу накладання як суму реакції кола на кожне діяння окремо.

ПРИКЛАД:

На вхід кола RC поступає нескінченна

періодична послідовність з частотою Ω

в/і напруги

Потрібно визначити вихідну напругу, якщо

τ_к<<τ_і.

Рішення:

1. Запишемо вхідну напругу у вигляді ряду Фур‘є

/

2. КПФ кола RC

.

3. Вихідна напруга

.

За умови τ_к<<τ_і .

При Ωτ_Κ>>1, nΩτ_Κ>>1, а отже

Спектр вихідного сигналу фактично не спотворюється, зміщуються (зменшуються) лише амплітуди гармонік вихідного сигналу в порівнянні х вхідними.

2.2. Розрахунок проходження сигналів з суцільним спектром через лінійне електричне коло.

При розрахунках проходження неперіодичних сигналів спеціальним методом використовується пряме та зворотне перетворення Фур‘є.

Представлення неперіодичної функції у вигляді інтеграла Фур‘є дає результат додавання нескінченної кількості незатухаючих та нескінченно близьких за частотою синусоїдальних коливань з нескінченно малими амплітудами.

Це дозволяє застосовувати до нескінченно малих гармонік звичайні методи розрахунку сталих режимів, а потім, користуючись методом накладання визначити результуючі напруги та струми.

Враховуючи, що

.

ПРИКЛАД:

Нехай на вході ЕК RC диференціюю чого типу діє одиночний прямокутний в/і. Визначаємо КПФ цього кола

Запишемо S_вх(jω) = .

Визначаємо відгук кола у вигляді щільності

.

В часовій області

,

розкладаючи за формулою Ейлера, отримуємо:

Методика визначення спектральних складових відгуку ЕК на вхідне діяння у вигляді неперіодичного сигналу:

1. Вхідний сигнал представити у вигляді S(jω) – спектральної щільності.

2. Визначити КПФ ЕК К(jω).

3. Знайти спектральну щільність у вигляді:

4. Знайти відгук кола, користуючись ЗПФ

.

Дата добавления: 2014-01-15