Складання та рішення диференційних рівнянь лінійних електричних кіл

При складанні ДР відносно шуканої величини зручно використовувати інтегро-диференційні зв’язки між миттєвими значеннями струмів та напруг на окремих елементах кола (табл.1) та закони Кірхгофа.

Таблиця 1

Елемент кола	Зв’язок поміж струмом та напругою елементів
	;

1. Закон Кірхгофа: Алгебраїчна сума струмів у вузлі дорівнює нулю.

І₁ - І₂ – І₃ – І₄ = 0

2. Закон Кіргофа: Алгебраїчна сума ЕРС, діюча в будь-якому контурі довільного розгалуженого електричного кола, дорівнює алгебраїчній сумі падінь напруги на усіх активних опорах цього контуру.

Метод накладання ДР:

1. Скласти на основі законів Кірхгофа систему (одне рівняння) для миттєвих значень у післякомутаційному режимі.

2. Використовуючи інтегро-диференційний зв’язок (табл. 1) між миттєвими значеннями струмів та напруг, виразити усі функції через шукану.

Перетворення вести до отримання одного рівняння з одним невідомим.

Приклад: Скласти ДР для знаходження закону зміни струму в колі І порядку (рис.4) при підключенні до джерела постійної напруги.

1. За другим законом Кірхгофа для післякомутаційного кола маємо

U_R(t) +U_L(t) = U₀×1(t)

і(t)-?

Рис. 4

Від рівняння (14) переходимо до ДР відносно струму і(t), використовуючи дані табл.1

звідси - ЛНДР

Таким чином, отримали ДР І порядку, так як коло утримує тільки один накопичувальний елемент.

2. Рішення ДР має вигляд:

і(t) = і_віл (t) + і_пр(t) = А₁

3.

4. складемо характеристичний многочлен

P₁ + R/L = 0, корінь якого дорівнює

P₁ = -R/L = -1/t_К, де t_К – постійна часу кола.

Отже: .

5. Використовуючи ПУ (вони нульові) визначаємо постійну інтегрування

і_L(-0) = і_L(+0)=0

6. і(+0) = = А₁+U₀/R = 0 Þ А₁=-U₀/R

7. Отримаємо .

.

Аналізуючи (18), будуємо графіки (рис. 5)

U_L(t) = i(t)R= U₀ (1-)

Рис.5

Висновок:

1. В момент підключення постійної напруги до кола RL струм у колі зберігає те значення,яке він мав до комутації.

2. За час, який дорівнює»5t_К, струм збільшується за експоненційним законом і досягає значення U₀/R.

1. ВІЛЬНІ НАПРУГИ ТА СТРУМИ У НЕРОЗГАЛУЖЕНИХ КОЛАХ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ.

Відомо, що коло першого порядку при відсутності зовнішнього діяння описується рівнянням вигляду:

, тобто однорідним ДР.

Будемо шукати рішення у вигляді

х(t) = х_віл(t), так як х_пр(t) = 0.

Таким чином, вільні напруги та струми в колах RC (RL) виникають за рахунок енергії, яка раніше була накопичена в електричному колі конденсатора чи магнітному полі індуктивності.

Процеси, які існують в електричному колі за рахунок запасу енергії в енергоємних елементах після відключення кола від джерела енергії, називаються вільними процесами.

Розглянемо вільні процеси в колі RC (рис.5)

Рис.5

Попередньо заряджена ємність до U_СО після комутації розряджається на R.

В ємності була запасена енергія

.

У колі за рахунок проходження струму розряду ємності будуть відбуватися незворотні теплові процеси на R до тих пір, поки енегрія, яка запасена, не стане дорівнювати 0. Новий сталий стан буде характеризуватися U_С = 0, і = 0.

1. Для запису рівняння рівноваги кола введемо позитивний напрямок струму та напруги.

R×i(t) + U_C(t) = 0.

Запишемо ДР

U¢_C(t) +1/(RC) × U_C(t) = 0.

2. U_C(t) =

2. U_Cпр(t) = 0

3. Р = - (1/ RС) = -1/t_К

4. В зв’язку з тим, що ПУ ненульові, то:

U_С(+0) = U_С(-0) = U_СО

5. U_CО =

7. U_C(t) = U_CО

Отже очевидн, що U_C зменшується за експоненційним законом (рис.6)

і(t) = С×U¢_C(t) =

Струм у колі також зменшується за експоненційним законом. Знак “мінус” свідчить про те, що обраний0 напрямок струму та його дійсне напрямок не співпадають. (Зроблено це навмисно).

Рис.6

Постійна часу кола та тривалість перехідного процесу.

При рішенні характеристичного многочлена введено поняття постійної часу кола.

Ця характеристика залежить від схеми кола та параметрів її елементів. Вона характеризує швидкість протягу перехідних процесів у колах першого порядку. Постійна часу (t = RC в колах RC, t_К = L/R в колах RL) вимірюється в секундах. Суть її полягає в наступному:

Нехай від моменту комутації пройшов час t = t_К. Через цей відрізок часу, наприклад, напруга на опорі буде мати значення

.

Такий результат можна отримати при будь-якій величині, що зменшується в перехідному режимі в колі першого порядку.

Таким чином постійна часу є величина, яка дорівнює проміжку час, в ході якого вільна складова струму чи напруги зменшується в е разів. Перехідний процес нескінчений.

Виникає необхідність встановити практичну тривалість перехідного процесу.

Таблиця 1.

t	tК	2tК	3tК	4tК	5tК
х0	0,368 х0	0,135 х0	0,05 х0	0,017 х0	0,007 х0

За складеною таблицею1 бачимо, що за t = 5t_К величина, яка описує вільний процес приймає значення 0,7% початкового. Це вважається достатнім для встановленого процесу.

Таким чином, час вільних процесів вважається рівним 5t_К.

Назвемо часом вільного процесу t­_віл час, за який вільна складова процесу зменшується в n разів порівняно з початковим значенням.

х_віл (t) = х₀

За визначенням х₀/n = х_0, звідси

t_віл = t_К ln n, якщо n взяти рівним 100, то

t_віл = t_К ln 100 = t_К×2,3 lg100 = 4,6 t_К.

t_К можна визначити експериментально за осцилограмою процесу.

Припустимо, деяка величина, яка змінюється за законом

х_віл (t) = х₀

спостерігається на екрані осцилографа (рис.7)

Рис. 7

Якщо провести дотичну в точці х₀, то отримаємо піддотичну до кривої пере-хідного процесу t_К можна знайти відразу за даними осцилографа, використо-вуючи можливість вимірювання тривалості. Більш точніше за показаннями осцилографа t_К можна знайти розрахунковим методом.

х_віл (t) = х₀

Візьмемо похідну та знайдемо її значення в момент часу t = +0.

.

При обчисленні постійної часу кола величину R необхідно виразити в Омах, ємність у Фарадах, індуктивність – у Генрі. Якщо коло має декілька опорів, то для визначення t_К необхідно брати величину R_екв.

Його величину визначати таким чином:

- умовно замкнути накоротко джерело напруги;

- усі опори, які будуть підключені до затискачів енергоємного елементу, будуть визначати еквівалентний опір.

Якщо до кола підключити джерело струму, то вхідні затискачі для підра-хунку R_екв треба брати розімкнутими.

ВИСНОВОК:

Таким чином, постійна часу кола визначає швидкість вільних процесів у ко-лі першого порядку. Для кіл другого порядку та вище, коли вільні процеси не періодичні, а коливальні вводять ще інші параметри для більш повної характеристики вільного процесу, про що буде сказано нижче.

Дата добавления: 2014-01-15