Анализ различных видов движения трехстепенного гироскопа

Движение гироскопа по инерции (нутация гироскопа).

Постановка задачи: имеем систему (6.7), начальные условия для которой могут быть представлены в виде

, , , .

Так как рассматриваем чисто движение по инерции, то .

Найти .

Таким образом, имеем следующую систему дифференциальных уравнений нутационного движения гироскопа

(6.9)

Рассмотрим возможные методы решения данной системы:

1.Метод решения систем дифференциальных уравнений. Заключается в решении системы, содержащей 4 переменных.

2.Решение операторным методом. То есть , .

Задание: записать систему уравнений в операторной форме.

3.Сведение системы уравнений к одному уравнению.

Решаем данную систему третьим способом.

Из второго уравнения системы (6.9) имеем:

(6.10)

(6.11)

(6.12)

Подставив (6.11) в первое уравнение системы (6.9), получим:

, (6.13)

где - круговая частота нутационных колебаний.

Составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения

,

корни которого равны , .

По виду корней характеристического уравнения составляем решение

. (6.14)

Отсюда

. (6.15)

Подставляем (6.15) в (6.12) и находим выражение для

. (6.16)

Продифференцируем это выражение

. (6.17)

Исходя из начальных условий, найдем константы интегрирования . Для этого рассматривая уравнения (6.14) – (6.17) в момент времени t = 0, составим систему алгебраических уравнений относительно неизвестных констант

решая которую, получим

, , , .

С учетом значения констант принимают вид

, , , .

Подставив найденные константы интегрирования в уравнения (6.14) и (6.16), найдем окончательное решение исходной системы дифференциальных уравнений

Перепишем полученное решение иначе

(6.18)

где , , , .

Интерпретация нутационного движения гироскопа на картинной плоскости.

1. На векторе в начальном положении откладываем единичный вектор (полученную точку называют апексом).

2. Вводим прямоугольную систему координат с началом в (точке с координатами ).

3. Исключаем в (6.18) время: сначала преобразуем, а затем возводим в квадрат и складываем

где

;

.

Т.е. и, следовательно,

. (6.19)

Полученное выражение есть уравнение эллипса, центр которого смещен по координатам соответственно на , а полуоси эллипса соответ-ственно равны .

Траектория оси ротора, соответствующая уравнению (19), приведена на рис.1

	Рис. 6.1. Траектория апекса на картинной плоскости Вариант, причем и .

Замечания.

1. О направлении движения по эллипсу.

Движение происходит из начала координат против часовой стрелки.

2. В зависимости от знаков начальных условий координаты центра эллипса будут находиться в одном из четырех квадрантов.

В приложении к лекции №6 приведена схема моделирования в Simulinke программы Matlab и траектории апекса гироскопа при различных начальных условиях по скоростям .

Приложение к лекции №6.

Исходные данные - параметры гироскопа.

J _y1=4 - момент инерции относительно оси наружной рамки (Гсмc²);

J _z=2 - момент инерции относительно оси внутренней рамки (Гсмc²);

H =4000 - кинетический момент гироскопа (Гсмс);

H ₁=4000 - кинетический момент - активная

составляющая Н₁ = Н cos(Гсмс);

-круговая частота нутационных колебаний;

NUA=; NUB=- начальные условия по угловым скоростям задаются

на int4 и int6.

Дата добавления: 2014-01-15