Понятия множеств и операции над множествами

Логические основы информационных технологий

Все действия, выполняемые компьютерной техникой, в своей основе представляют собой операции над двоичными числами. Выполнения таких операций осуществляется на аппаратном уровне, т.е. на уровне электронных устройств. Простейшим электронным устройством, которое под действием управляющего сигнала может перейти в одно из двух устойчивых состояний, является транзистор.

Совместная работа множества транзисторов, объединенных в интегральные микросхемы, есть не что иное, как их переключение из одного состояния в другое, при этом состояние одного является управляющим сигналом для другого. Принцип такой работы аналогичен вычислению сложного логического выражения. Поэтому часто говорят, что в основе работы компьютера лежат принципы математической логики. Изучению основ математической логики и посвящен второй вопрос лекции.

Но перед тем как перейти к изучению данного вопроса, необходимо рассмотреть основные понятия теории множеств.

Вся современная математика основана на теории множеств.

Множество - это совокупность объектов любой природы и обладающих одними свойствами. Каждый объект - элемент множества. Множества бывают конечные и бесконечные.

Множества обозначаются прописными латинскими буквами, а их элементы – строчными.

Запись означает, что элемент есть элемент множества . Запись означает, что элемент не является элементом множества .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом ∅.

Если все элементы множества содержатся в множестве , тогда является подмножеством множества , и обозначается .

Например: множество студентов-отличников являются подмножеством всех студентов.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Например: множество курсантов вуза МВД России являются переменным составом этого вуза.

В теории множеств существуют следующие операции:

Сумма.

Объединением (суммой или соединением) множеств А и В называется множество С, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Обозначается .

Графически объединение множеств представлено на рис. 1.

Рис. 1. Объединение множеств.

Произведение (пересечение).

Пересечением множеств А и В называется множество С, содержащее все элементы, которые принадлежат множествам и А, и В. Обозначается .

Рис. 2. Пересечение множеств.

Разность.

Разностью множеств А и В называется множество всех элементов из множества А, которые не содержатся в множестве В. Обозначается .

Рис. 3. Разность множеств.

Пример:

Даны множества и . Найти объединение, пересечение и разность данных множеств.

Решение:

Объединением двух данных множеств является .

Пересечением двух данных множеств является .

Разностью двух данных множеств является .

Дата добавления: 2014-01-15