Матричний спосіб розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Запишемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими

(3.37)

у матричній формі

АХ = В, (3.38)

де

А = , Х = , B = .

Припустимо, що матриця А не вироджена, то система (3.37) називається невиродженою, у протилежному разі виродженою, причому визначник Δ = ≠ 0 і матриця А має обернену матрицю , яка єдина.

Помножимо обидві частини рівняння (3.38) на зліва:

Оскільки і ЕХ = Х, то

. (3.39)

Рівність (3.39) можна записати у вигляді

= ,

або, перемноживши і В, дістанемо

= ,

звідки

= ,

де k = 1, 2, …, n, a =Δ.

Тоді

, k = 1, 2, …, n. Тим самим доведено правило Крамера.

Матричний метод розв’язання системи (3.37) не простіший, ніж метод, розглянутий раніше, але дає змогу зручно і компактно записати розв’язок.

Приклад. Розв’язати матричним методом систему рівнянь

Розв’язання. Утворюємо матриці

А = , Х = , B = ,

Тоді система набере вигляду

АХ = В.

Обчислюємо визначник матриці А:

Δ = det A = 2 ≠ 0,

Тобто існує обернена матриця

=

Запишемо розв’язок системи в матричній формі:

Х = = .

Перемножимо матриці:

= .

Відповідь: х = 1, y = 2, z = 3.

ВПРАВИ. 1. Користуючись правилом Крамера, розв’язти систему рівнянь

Відповідь: (1, 1, 1).

2. Розв’язти методом Гаусса систему рівнянь

Відповідь: (2, 1, 1).

3. Розв’язти матричним методом систему рівнянь

a) б)

Відповідь: а) (2, 1, 1), б) (1, -1, 2, 1)

4. Чи сумісна система рівнянь? Якщо сумісна, то розв’язти її:

а)

Відповідь: а) (, , 4 - 9- 6, 6- 4- 3), б) несумісна.

Дата добавления: 2014-01-11