Декартовий добуток множин

Введемо ще одну операцію над множинами. Нехай і – довільні множини.

Означення. Впорядкованою парою називається пара елементів , , взятих в певному порядку.

Впорядкованість пари розуміється так, що .

Дві впорядковані пари вважаються рівними, якщо рівні їх відповідні компоненти:

.

Означення. Декартовим добутком двох множин і називається множина всіх впорядкованих пар :

.

Якщо , то кажуть про декартовий квадрат множини :

Аналогічно можна ввести декартовий добуток трьох , чотирьох і т.д. множин. При скорочено пишуть і кажуть про -й декартовий степінь множини . Елементами є послідовності (набори, вектори, рядки) довжини .

За означенням покладають, що перший декартовий степінь будь-якої множини є сама множина , тобто .

Декартовий добуток має наступні властивості:

1) – некомутативність;

2) – дистрибутивність відносно ;

3) – дистрибутивність відносно ;

4) .

Приклади:

1. Нехай , , . Тоді;;.

2. , – множини символів, які позначають горизонтальні і вертикальні поля шахівниці. Тоді – множина всіх кодів кліток шахівниці.

3. Нехай R – множина всіх дійсних чисел. Тоді декартовий квадрат є просто множина всіх декартових координат на площині відносно заданих координатних осей (– множина точок площини). Якщо , то – одиничний квадрат на площині.

4. – множина точок простору. Якщо , то – одиничний куб на площині.

Дата добавления: 2014-01-11