Властивості операцій над множинами

Операції над множинами, як і операції над числами, мають певні властивості. Ці властивості виражаються сукупністю тотожностей незалежно від конкретного змісту множин, що входять у них, і є підмножинами деякого універсуму , тобто множинами з .

Теорема. Для будь-яких множин з булеану справедливі наступні тотожності (основні закони теорії множин):

1. – комутативність	1^*. – комутативність
2. – асоціативність	2^*.– асоціативність
3. – дистрибутивність відносно	3^*. – дистрибутивність відносно
закони поглинання
4.	4^*.
закони де Моргана
5.	5^*.
6.
закони ідемпотентності
7.	7^*.
властивості і
8.	8^*.
9.	9*.
10. ,
11.
12.

Доведення (самостійно) всіх рівносильностей проводиться

1) за означенням рівності множин і за означеннями операцій над множинами.

Щоб довести деяку тотожність , треба довести, що і , тобто, по-перше, якщо , то і, по-друге, якщо , то .

2) за допомогою діаграм Ейлера-Венна.

Доведемо, наприклад, дистрибутивність відносно . Спочатку припустимо, що деякий елемент належить лівій частині тотожності і доведемо, що він належить правій частині, користуючись означеннями операцій над множинами:

.

Припустимо тепер, що деякий елемент належить правій частині тотожності і доведемо, що він належить лівій частині:

.

Доведемо тепер дистрибутивність відносно за допомогою діаграм Ейлера-Веннау випадку .

Оскільки заштриховані області на лівій і правій діаграмі збігаються, то відповідна тотожність справедлива.

За допомогою основних властивостей операцій над множинами доводять рівності множин і спрощують вирази алгебри множин.

Приклад. Спростити вираз .

Розв’язання:

.

Дата добавления: 2014-01-11