Основні операції над множинами

Існує ще один спосіб задання множин – за допомогою операцій над іншими множинами. На булеані визначаються наступні операції над множинами і .

Означення. Об'єднанням двох множин і називається множина , яка складається з усіх їхніх елементів, що належать хоча б одній з множин , :

,

де – знак об’єднання.

На діаграмі Ейлера-Венна об’єднання показується штриховкою:

Об’єднання називається також теоретико-множинною сумою.

Операція об’єднання узагальнюється на довільну сукупність множин. У загальному випадку використовується позначення:

.

Приклади:

1. , , ;

2. , ,;

3. {парні числа}, {непарні числа }, .

Означення. Перерізом двох множин і називається множина , яка складається з усіх тих і тільки тих елементів, що належать і , і В:

,

де – знак перерізу.

На діаграмі Ейлера-Венна переріз показується штриховкою:

Переріз називається також теоретико-множинним добутком.

Операція перерізу узагальнюється на довільну сукупність множин. У загальному випадку використовується позначення:

.

Приклади:

1. , , ;

2. , , ;

3. {прямокутники}, {ромби}, {квадрати}.

Означення. Різницею множин і називається множина , яка складається з усіх тих елементів множини , які не належать :

,

де – знак різниці.

Приклади:

1. , , , ;

2. , , ;

3. , {непарні числа}, {парні числа}.

В означенні різниці, взагалі кажучи, не припускається, що . Якщо , то різниця називається доповненням множини В до множини і позначається .

Проілюструємо поняття різниці множин за допомогою діаграм Ейлера-Венна:

Означення. Різниця універсальної множини і будь-якої її підмножини А називається доповненням множини до універсальної . Позначається .

На діаграмі Ейлера-Венна доповнення показується штриховкою:

Означення. Симетричною різницею множин і називається різниця об’єднання і перерізу множин і (виключне "АБО"), яка позначається . ,де – знак симетричної різниці.

Приклади: , ,

.

Геометрична ілюстрація: Використовуючи операції ∩¸ ¸ \¸ можна виражати одні множини через інші. За умовчанням приймається пріоритет операцій: . Для зміни цього порядку у виразі використовують дужки.

Таким чином, множину можна задати виразом, в який входять множини, операції і, може бути, дужки. Такий спосіб завдання множини називається аналітичним.

Приклад. Нехай ; ; ; .;;

Дата добавления: 2014-01-11