Приведение уравнения к каноническому виду

1..

Найти собственные значения и собственные функции краевой задачи.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Задачи для самостоятельного решения по теме 1.

1. Решите следующие краевые задачи

1.1. , , , .

1.2. , , , .

1.3. , , , .

1.4. , , , .

2. Решите следующие задачи Штурма - Лиувилля

2.1. , , , .

2.2. , , , .

2.3. , , , .

2.4. , , , .

2.5. , , , .

2.6. , , .

2.7. , , .

2.8. , , , .

2.9. , , , .

2.10. , , , .

2.11. , , , , .

Указание: введите замену независимой переменной .

2.12. , , , ограничена при .

Указание: выполнить подстановку .

1). Пусть уравнение (2.1) в области гиперболического типа.

Пусть общее решение характеристического уравнения (2.3) имеет вид:

,

Эти решения называются характеристиками.

Выполним замену переменных

Уравнение (2.1) можно привести к каноническому виду

(2.6)

Другая форма канонического вида (гиперболический тип):

Замена

приводит уравнение (2.6) к виду

(2.7)

2). Пусть уравнение (2.1) в области параболического типа.

Уравнения (2.4) и (2.5) совпадают, поскольку .

Пусть общее решение характеристического уравнения имеет вид: .

Выполним замену переменных

где - произвольная функция, не зависящая от .

Уравнение (2.1) можно привести к каноническому виду

(2.8)

3). Пусть уравнение (2.1) в области эллиптического типа.

В этом случае характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных решения

Выполним замену переменных

Уравнение можно привести к каноническому виду

(2.9)

Канонические типы уравнений:

· (гиперболический тип)

· (параболический тип) ;

· (эллиптический тип) .

Пример 1. Привести уравнение к каноническому виду

.

Определим тип уравнения

Уравнение эллиптического типа

Составляем характеристическое уравнение (2.3):

,

.

Интегрируя, получим комплексное решение

Замена переменных:

Вычисляем производные по правилу дифференцирования сложной функции:

,

,

,

,

.

Подставляя в уравнение, получим канонический вид (эллиптический тип):

.

Пример 2. Определить тип уравнения и привести к каноническому виду

Определим тип уравнения

Уравнение гиперболического типа

Составляем характеристическое уравнение (2.3):

,

Характеристики: , .

Замена переменных:

Вычисляем производные:

,

,

.

Подставляя в уравнение, получим канонический вид (гиперболический тип)

.

Пример 3. Привести к каноническому виду уравнение

.

Определим тип уравнения

Уравнение параболического типа.

Составляем характеристическое уравнение (2.3):

,

Характеристика: .

Замена переменных:

Вычисляем производные:

,

,

,

,

.

Подставляя в уравнение, получим канонический вид

.

Задание 2.

Указать характеристики и привести уравнение к каноническому виду.

1. . 2. . 3.

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12.

13. . 14. . 15. .

16. 17. . 18. .

19. . 20. .

Дата добавления: 2014-01-15