Лекція №12. Диференціальне числення функції багатьох змінних

1. Функція багатьох змінних, її границя та неперервність

2. Частинні похідні

3. Диференційовність функції

4. Повний диференціал функції. Диференціали вищих порядків

5. Похідна складеної функції. Повна похідна

1. Функція багатьох змінних, її границя та неперервність

Нехай задано множину упорядкованих пар чисел . Якщо кожній парі чисел за певним законом відповідає число , то кажуть, що на множині визначено функцію від двох змінних і та записують .

Змінну називають залежною змінною (функцією), а змінні та - незалежними змінними (аргументами).

Множину пар значень та , для яких функція визначена, називають областю визначення цієї функції і позначають або .

Множину значень позначають або .

Значення функції в точці позначають або , або .

Лінію, що обмежує область , називають межею області визначення. Точки області, які не лежать на її межі, називають внутрішніми. Область, яка містить одні внутрішні точки, називається відкритою. Якщо до області визначення належать і всі точки межі, то така область називається замкненою.

Графіком функції в прямокутній системі називається геометричне місце точок , проекція яких належить області . Це геометричне місце точок в тривимірному просторі певну поверхню, проекція якої на площину є множина .

Нехай функція задана в деякій області і точка або , але має таку властивість, що в довільному околі цієї точки міститься хоча б одна точка множини , відмінна від .

Означення за Гейне. Число називається границею функції в точці , якщо для довільної, збіжної до послідовності точок , відповідна послідовність значень функції збігається до числа . Записують або .

Означення за Коші. Число називається границею функції в точці , якщо для кожного числа знайдеться число таке, що для всіх точок , які задовольняють умову , виконується нерівність .

Функція називається неперервною в точці , якщо
.

Точки, в яких функція неперервна, називаються точками неперервності, а точки, в яких неперервність порушується – точками розриву цієї функції.

2. Частинні похідні

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Надамо змінній приросту , залишаючи змінну незмінною так, щоб точка належала заданому околу.

Величина називається частинним приростом функції по змінній .

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Надамо змінній приросту , залишаючи змінну незмінною так, щоб точка належала заданому околу.

Величина називається частинним приростом функції по змінній .

Якщо існує границя, то вона називається частинною похідною функції в точці по змінній і позначається одним із символів .

– частинні похідні по в точці .

Аналогічно частинна похідна функції по змінній визначається як границя і позначається одним із символів .

Дата добавления: 2014-01-11