Правило знаходження частинних похідних

При знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції однієї змінної , вважаючи змінну сталою, а при знаходженні похідної сталою вважається змінна .

Тому частинні похідні знаходяться за формулами і правилами обчислень похідних функцій однієї змінної.

Частинна похідна характеризує швидкість зміни функції в напрямі осі .

Геометричний зміст частинної похідної: , де – кут між віссю і дотичною, проведеною до кривої в точці .

Аналогічно, , де – кут між віссю і дотичною, проведеною до кривої в точці .

Для функції n змінних можна знайти n частинних похідних , де ,

.

Щоб знайти частинну похідну , треба знайти звичайну похідну функції по змінній , вважаючи решту змінних сталими.

Якщо існує частинна похідна по змінній від функції , то її називають частинною похідною другого порядку від функції по змінній і позначають .

Якщо існує частинна похідна по змінній від функції , то її називають мішаною частинною похідною другого порядку від функції і позначають .

Для функції двох змінних розглядають чотири похідні другого порядку .

Якщо існують частинні похідні від частинних похідних другого порядку, то їх називають частинними похідними третього порядку функції , їх вісім:

.

Теорема (про мішані похідні)

Якщо функція визначена разом зі своїми похідними в деякому околі точки , причому та неперервні в точці , то в цій точці .

Приклад. Знайти частинні похідні першого та другого порядку функції .

3. Диференційовність функції

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Виберемо прирости так, щоб точка належала розглядуваному околу і знайдемо повний приріст функції в точці :

.

Функція називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст в цій точці можна подати у вигляді

,

де – дійсні числа, які не залежать від ,

– нескінченно малі функції при .

Властивості функції двох змінних:

Теорема 1 (неперервність диференційовної функції)

Якщо функція диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці.

Теорема 2 (існування частинних похідних диференційовної функції)

Якщо функція диференційовна в точці , то вона має в цій точці похідні та і .

Теорема 3 (достатні умови диференційовності)

Якщо функція має частинні похідні в деякому околі точки і ці похідні неперервні в точці , то функція диференційовна в точці .

Наслідок (з теореми 2 і теореми 3)

Щоб функція була диференційовною в точці необхідно, щоб вона мала в цій точці частинні похідні і достатньо, щоб вона мала в цій точці неперервні похідні.

4. Повний диференціал функції. Диференціали вищих порядків

Якщо функція диференційовна в точці , то її повний приріст в цій точці можна подати у вигляді: , де при .

Повним диференціалом диференційовною в точці функції називається лінійна відносно та частина повного приросту цієї функції в точці , тобто .

Диференціалами незалежних змінних та назвемо прирости цих змінних , тоді повний диференціал можна записати:

Приклад 1. Знайти повний диференціал функції .

Повний диференціал функції називають диференціалом першого порядку.

Диференціал другого порядку визначають за формулою .

Тоді, якщо функція має неперервні частинні похідні, то

або .

Символічно це записують .

Диференціал третього порядку .

Диференціал порядку .

Приклад 2. Знайти диференціал другого порядку функції .

5. Похідна складеної функції. Повна похідна

Нехай – функція двох змінних та , кожна з яких, в свою чергу, є функцією незалежної змінної : , тоді функція є складеною функцією змінної .

Теорема (похідна складеної функції)

Якщо функції диференційовні в точці , а функція диференційовна в точці , то складена функція також диференційовна в точці . Похідну цієї функції знаходять за формулою .

Якщо , де ,то .

Якщо , а , то , а оскільки , то – формула для обчислення повної похідної.

Приклад 3. Знайти функції , якщо .

Розглянемо загальний випадок. Нехай – функція двох змінних та , які, в свою чергу, залежать від змінних та : , тоді функція є складеною функцією незалежних змінних та , а змінні та – проміжні.

Дата добавления: 2014-01-11