Случай равных частот. Комфортабельная езда

Случай разделения движений

Случай независимых подвесок

Рассмотрим частный случай, когда выполняется равенство

,

то есть когда радиус инерции представляет собой среднее геометрическое между величинами и. Заметим, что для этого расстояние между осями колес должно быть значительно меньше длины автомобиля (это на самом деле имеет место в автомобилях современной компоновки).

Если условие выполняется, то частотное уравнение имеет вид

.

Дискриминант квадратного уравнения равен

а его корни

,

или

.

Если справедливо неравенство, то.

Построим решение системы для рассматриваемого случая. Запишем систему, в виде

,

где - оператор дифференцирования по времени, - операторная матрица

Известно, что решение консервативной системы имеет вид

,

где константы, зависящие от начальных условий движения, модальные столбцы или собственные формы, соответствующие частотам.

Согласно методу Булгакова решения систем линейных дифференциальных уравнений, модальные столбцы могут быть определены как столбцы матрицы, присоединенной к матрице, если вместо оператора дифференцирования в качестве аргумента взять значение квадрата собственной частоты с обратным знаком.

Выполняя замену аргумента в матрице, получим

.

Матрица, присоединенная к матрице, равна

.

Для частоты получим присоединенную матрицу

,

откуда выберем первый модальный столбец

.

Для частоты получим матрицу

из нее выберем второй модальный столбец

.

Тогда решение будет

.

Как следует из колебания центра масс по вертикали, и угловые колебания корпуса будут двухчастотными.

Проведем анализ колебаний точек крепления пружин. Отклонение от положения равновесия точки А крепления пружины жесткостью равно

Отклонение от положения равновесия точки В крепления пружины жесткостью равно

Колебания подвесок происходят с разными собственными частотами и определяются разными константами. С точки зрения теории колебаний консервативных систем это значит, что координаты точек крепления координат при условии являются нормальными координатами.

Практически это означает, что подвески автомобиля колеблются независимо и колебания одной из них не передаются другой. Независимость колебаний обеих подвесок автомобиля можно считать определенным эксплуатационным достоинством.

Предположим, что жесткости подвесок настроены таким образом, что

В этом случае матрица жесткостей системы диагональная, уравнения движения по угловой координате и линейной координате происходят независимо, система уравнений движения разделяется

При этом угловые колебания происходят с частотой

,

а вертикальные колебания с частотой

.

Решение системы уравнений имеет вид

Независимость уравнений означает возможность вертикальных колебаний без поворотов (подпрыгивание) и угловых колебаний при неподвижном центре тяжести (галопирование). Угловые и вертикальные колебания происходят независимо. Возмущение по угловой координате не влияет на вертикальные колебания и наоборот.

Легко проверить, что при одновременном выполнении условий и

,

оказывается выполненным условие равенства собственных частот

В книге (3) отмечается, что условие является не только необходимым, но и достаточным условием равенства собственных частот.

Колебания, таким образом, происходят с одной частотой, решение уравнений колебаний имеет вид

То есть, одной, казалось бы, частоте отвечают две различные формы колебаний. Задача колебаний автомобильной подвески является одним из примеров, иллюстрирующих тот факт, что кратные собственные частоты в консервативной системе не приводят к вековым слагаемым в решении уравнений собственных колебаний консервативной системы.

Кратные собственные частоты в консервативной системе

не приводят к вековым слагаемым в решении уравнений

собственных колебаний консервативной системы.

Для отклонений от положения равновесия точек А и В крепления подвесок, аналогично,, имеем

В случае равных собственных частот, при наличии внешнего гармонического возбуждения резонансные режимы колебаний могут возникать только на одной частоте, что, несомненно, является достоинством динамической системы. Схема автомобиля, обладающего таким свойством, признается особенно рациональной с точки зрения комфортабельной езды.

Одно «но». Если частоты все- таки немного различаются, то есть имеет место случай двух близких собственных частот, то возникает особенный режим колебаний, который называется биения.

В случае близких собственных частот в консервативной

системе с двумя степенями свободы возникают биения

Биения получаются как результат сложения двух гармонических колебаний с близкими частотами. График биений приводится на рисунке 2. Колебания в этом случае ощущаются, как высокочастотные с медленно меняющейся амплитудой.

Рис. 2 Биения

Дата добавления: 2014-01-20