Бабич, А. А

Гомель 2011

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

А. А. Бабич, А. В. Емелин, Л. Д. Корсун

Дельта-сигма модуляция

Интегрирующий АЦП

Другой метод аналого-цифрового преобразования – интегрирующий – использует интегрирование для оцифровки входного сигнала. АЦП такого типа имеют ряд преимуществ – высокое разрешение, хорошую линейность и подавление помех с использованием усреднения. Однако есть и серьезный недостаток – низкая скорость преобразования. Поэтому интегрирующие АЦП преимущественно используются в качестве цифровых вольтметров или других устройств, не требующих большой частоты измерений.

Самая современная технология в АЦП – это использование дельта-сигма преобразования. АЦП такого типа используют дельта-сигма модуляторы совместно с фильтрами защиты от наложения спектров и цифровыми фильтрами. Они обеспечивают высокую частоту дискретизации, высокую точность и наилучшую линейность среди всех типов АЦП. Например, АЦП такого типа имеет разрешение 16 бит на частоте 48 кГц с полным отсутствием дифференциальной нелинейности.

Таблица А-2. Преимущества/использование различных типов АЦП

Тип АЦП	Преимущества/использование
Последовательного приближения	Высокое разрешение Высокое быстродействие Легкость переключения Обычно используется на DAQ платах Может оцифровывать постоянные сигналы
Параллельный	Наибольшее быстродействие Отработанная технология Более дорогостоящий
Интегрирующий	Высокое разрешение Хорошее подавление помех Хорошая линейность Отработанная технология Низкая частота преобразования Обычно используется в цифровых мультиметрах
Дельта-сигма	Высокое разрешение Великолепная линейность Встроенные фильтры защиты от наложения спектров Оцифровывает переменные сигналы

по дисциплине «Специальные математические методы и функции» для студентов дневной формы обучения

специальности 1-36 04 02 «Промышленная электроника»

УДК 517(075.8)

ББК 22.16я73

Рекомендовано к изданию научно-методическим советом

Факультета автоматизированных и информационных систем

ГГТУ им. П.О. Сухого

(протокол № 5 от 26.12.2011)

Рецензенты: зав. кафедрой «Промышленная электроника» УО ГГТУ им. П.О. Сухого к.т.н., доцент Ю. В. Крышнев,

доцент кафедры «Высшая математика» УО ГГТУ им. П.О. Сухого к.ф.-м.н., доцент Л. Л. Великович

Б- Учебно-методическое пособие по дисциплине «Специальные математические методы и функции» для студентов дневной формы обучения специальности 1-36 04 02 «Промышленная электроника» / А. А. Бабич, А. В. Емелин, Л. Д. Корсун. - Гомель: УО ГГТУ им. П. О. Сухого, 2011. - 63 с.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное учебно-методическое пособие является частью комплекса учебных пособий под общим названием «Специальные математические методы и функции» и написано в соответствии с действующей программой курса «Специальные математические методы и функции», соответствующей новому образовательному стандарту и учебному плану по специальности 1-36 04 02 «Промышленная электроника». Методическое пособие адресовано студентам дневного отделения, овладевшим основами линейной алгебры и математического анализа в рамках курса «Высшая математика».

В методическом пособии весь практический материал по курсу «Специальные математические методы и функции» разбит на разделы, в каждом из которых даются необходимые сведения (основные определения, формулы), используемые при решении задач. Для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов в конце каждого раздела имеется задание, содержащее список задач.

Для самостоятельной подготовки к практическим занятиям и экзамену рекомендуем курс лекций по дисциплине «Специальные математические методы и функции» [1].

РАЗДЕЛ 1. Отображения множеств. Мощность множеств

Отображением f множества Х в множество Y называется всякое правило, сопоставляющее каждому элементу x множества Х единственный элемент y множества Y. При этом называется образом , а – прообразом .

Отображение называется сюръективным или сюръекцией, если отображается на всё множество , т.е. .

Отображение называется инъективным или инъекцией, если любым двум различным элементам соответствуют различные образы .

Отображение , являющееся одновременно сюръекцией и инъекцией, называется биекцией или взаимнооднозначным отображением.

Множества и называются эквивалентными, т.е. ~, если между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие.

Мощностью конечного множества называется число его элементов .

Множества А и В имеют равные мощности, если ~.

Множество А называется счетным, если ~, где – множество натуральных чисел.

Теорема 1.1. Множество действительных чисел, принадлежащих отрезку несчетно.

Множество ~называется множеством мощности континуум.

Мощность счетного множества обозначается символом (алеф-нуль). Мощность мощности континуум обозначается как N (алеф) или c (готическая буква С).

Теорема Кантора-Берштейна. Пусть А и В два произвольных множества, а и два их подмножества. Тогда если ~и ~, то ~.

Задания к разделу 1.

1.1. Задают ли указанные функции отображение f множество действительных чисел в себя, и если задают, то является ли оно сюръективным? инъективным? биективным?

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

1.2. Установить, являются ли указанные отношения действующие на множествах А и В, отображением , и если являются, то будут ли они сюръективными, инъективными, биективными.

а) А – множество русских слов; B – множество букв в русском алфавите; сопоставляет слову его первую букву;

б) А – множество функций, непрерывных на отрезке , B – множество действительных чисел; сопоставляет функции число ;

в) А – множество функций, имеющих на отрезке производные всех порядков; сопоставляет функции ее производную ;

г) А – множество всех окружностей плоскости; B – множество всех точек плоскости; сопоставляет каждой окружности ее центр;

д) А – множество всех окружностей радиуса ; B – множество всех точек плоскости; сопоставляет каждой окружности ее центр.

1.3. Множество А состоит из четырех элементов, а множество В из двух. Существуют ли указанные типы отображений, и если существуют, то определить их количество:

а) инъекция А в В;

б) сюръекция А на В;

в) инъекция В в А;

г) сюръекция В на А.

1.4. Построить следующие биективные отображения:

а) интервал на интервал ;

б) интервал на интервал ;

в) интервал на интервал ;

г) интервал на интервал ;

д) интервал на прямую ;

е) интервал на луч ;

ж) отрезок на интервал .

1.5. Отобразить множество квадратных трехчленов , где – натуральные числа} на множество натуральных чисел, кратных 30. Существует ли биективное отображение?

1.6. Установить, являются ли эквивалентными множество А точек произвольного круга и множество В точек произвольного квадрата. (Указание: воспользоваться теоремой Кантора-Берштейна).

1.7. Установить, являются ли счетными следующие множества:

а) множество целых чисел Z;

б) объединение конечного числа счетных множеств;

в) объединение счетного множества счетных множеств;

г) множество рациональных чисел Q;

д) образ счетного множества при отображении f;

е) множество многочленов с целыми коэффициентами.

1.8. Показать, что множество действительных чисел имеет мощность континуум, т.е. R~.

1.9. Установить мощность множества иррациональных чисел I.

1.10. Показать, что множество точек квадрата имеет мощность континуум.

1.11. Задано отображение пространства в себя. Найти:

а) образ точки ;

б) образ биссектрисы первого и третьего координатных углов;

в) прообраз оси абсцисс.

1.12. Задано отображение . Найти образ функции . Указать два элемента из прообраза .

1.13. задано отображение: пространства в пространство многочленов. Найти

а) образ точки ;

б) прообраз функции ;

в) прообраз функции .

РАЗДЕЛ 2. Метрические пространства

Множество М называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов x и y поставлено в соответствие действительное число , удовлетворяющее условиям:

() (аксиома тождества);

() (аксиома симметрии);

() (аксиома треугольника).

Число называется расстоянием между элементами x и y. Условия () – () называются аксиомами метрики. Элементы х метрического пространства называются точками, а функция точек метрикой.

Для проверки аксиом метрики полезны следующие неравенства:

1) – неравенство треугольника для модуля;

2) ;

3) – неравенство Коши-Буняковского;

4) , где , – неравенство Гёльдера;

5) , где –

неравенство Минковского;

6) ;

7) – неравенство Шварца.

Множество всех точек х метрического пространства , удовлетворяющих условию называется открытым шаром с центром в точке и радиусом . В случае нестрогого неравенства шар называется замкнутым шаром .

Множество М называется ограниченным, если оно целиком находится в некотором шаре.

Таблица основных метрических пространств

Обозначение пространства	Элементы пространства	Формулы для метрик
	,
	,
	, для
	Функция , непрерывная на
	Функция , непрерывная на
	Функция , непрерывная на
	Функция , непрерывная на вместе со своими производными до n -го порядка	,

Задания к разделу 2.

2.1. Показать, что из аксиом метрики (М1) – (М3) следует неотрицательность метрики, т.е что , для любых .

2.2. Доказать, что для любых четырех точек x, y, u, v метрического пространства справедливы неравенства

а) ;

б) (неравенство четырехугольника).

2.3. Доказать, что для любых и любых таких, что выполняется неравенство (неравенство Юнга).

Указание: рассмотреть функции и на отрезке . Далее положить .

2.4. Доказать неравенство Гёльдера

, где .

Указание: воспользоваться неравенством Юнга.

2.5. Доказать неравенство Минковского

.

Указание: воспользоваться неравенством Гёльдера.

2.6. Являются ли метриками на прямой

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2.7. Пусть М – множество точек окружности. Зафиксируем на окружности точку и определим расстояние между точками окружности А и В следующим образом

Является ли метрикой?

2.8. На множестве метрика задана так, что . Какие значения может принимать ?

2.9. Пусть множество двоичных наборов длины n. Расстояние между двоичными наборами и равно количеству позиций, на которых стоят различные числа. Записать формулу для и доказать, что является метрикой (метрикой Хэмминга).

2.10. Образует ли метрическое пространство множество точек плоскости, если расстояние между точками и определить так

а) ;

б) ?

2.11. Пусть М – множество населенных пунктов на берегу реки. Расстояние между пунктами А и В определим как время движения теплохода, имеющего собственную скорость v. Образует ли М метрическое пространство?

2.12. Задает ли метрику на пространстве многочленов формула:

а) ;

б) ?

2.13. Образует ли метрическое пространство множество полей максимальной длины, если за расстояние между полями х и y принять наименьшее число ходов, которое потребуется, чтобы перейти с поля х на поле у.

2.14. Пусть М – метрическое пространство с метрикой , а некоторое отображение множества А в М. Положим для любых двух точек

.

Установить, является ли метрикой, если отображение f

а) инъективно;

б) сюръективно;

в) биективно.

2.15. Будет ли пространство непрерывных на отрезке функций метрическим, если метрику определить как

а) , ;

б) ;

в) .

2.16. Для множества точек плоскости введены следующие три метрики:

;

;

.

Определить их геометрический смысл и найти расстояния между точками А и В в метрических пространствах , и :

а) ;

б) .

2.17. Изобразить на плоскости -окрестность точки для метрический пространств , и .

2.18. Указать на множестве клеток шахматной доски окрестности клетки радиуса 2. для метрик, введенных в задаче 2.13.

2.19. Найти множество точек пространства , равноудаленных от точек и .

2.20. Найти множество точек пространства , расстояние от каждой из которых до точки в 2 раза больше, чем расстояние до точки .

2.21. Найти расстояние между функциями и в метриках пространств:

а) ; б) ; в) .

2.22. Найти расстояние между функциями и в метриках пространств:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

РАЗДЕЛ 3. Сходимость и непрерывность в метрических

Дата добавления: 2014-01-20