Сложение

Сложение и вычитание целых чисел в системах с основаниями, равными степеням 2

Вопросы для проверки знаний.

1. Какие дроби называют правильными, а какие ‑ обыкновенными?

2. Какие дроби называют рациональными, а какие ‑ иррациональными?

3. Что называют периодом дроби и как его выделяют в записи? Что такое предпериод?

4. Чем отличаются записи рациональных дробей от записей иррациональных дробей?

5. Сколько знаков в дробной части числа должно быть рассчитано при переводе, если требуется найти 4 знака после запятой?

Практические задания.

1. Перевести в двоичную систему дробь 0,625₁₀.

2. Перевести в двоичную систему дробь 0,6₁₀.

3. Перевести в десятичную систему дробь 0,321₄.

4. Перевести в восьмеричную систему дробь 0,2В7(С5)₁₆.

5. Перевести в четверичную систему дробь 0,9С4F(DA)₁₆.

6. Перевести в восьмеричную систему число 5372,748₁₀. Ответ дать с точностью до 4 знаков после запятой.

Алгоритмы сложения и вычитания чисел в системах счисления с основаниями вида р =2 ^s аналогичны правилам в десятичной системе с учетом того, что вес (стоимость) одной единицы каждого старшего разряда равна 2 ^s единицам предшествующего младшего разряда.

Записываем одно число под другим таким образом, чтобы разряды с одинаковыми номерами располагались друг под другом. Складываем поразрядно, передвигаясь от разряда 0 к старшим. При переполнении в разряде (2^s единиц и более) вычитаем из него 2 ^s единиц, а одну единицу добавляем в следующий старший разряд. При сложении чисел, представленных в разных системах счисления, их предварительно необходимо привести в одной системе.

Пример 1. Сложить числа 1011₂ и 10101₂.

Решение. р =2. Записываем одно число под другим таким образом, чтобы разряды с одинаковыми номерами располагались друг под другом. При переполнении в разряде (2 единицы) из него вычитаем две единицы, а одну единицу добавляем в следующий по порядку старший разряд. Добавляемые единицы указываем вверху записи.

+

В итоге получим: 1011₂+10101₂=100000₂.

Пример 2. Сложить числа 7C6A₁₆ и BD65E₁₆. Ответ дать в десятичной системе.

Решение. р =16. Добавляемые единицы указываем вверху записи.

				C		А
+		B	D			Е
		С			C

При поразрядном сложении:

разряд 0: A₁₆+E₁₆=10+14=24=16+8; в разряде ставим 8 и переносим 1 в разряд 1;

разряд 1: 6₁₆+5₁₆+1=12; в разряде ставим 12=C₁₆;

разряд 2: C₁₆+6₁₆=12+6=18=16+2; в разряде ставим 2 и переносим 1 в разряд 3;

разряд 3: 7₁₆+D₁₆+1=7+13+1=21=16+5; в разряде ставим 5, переносим 1 в разряд 4;

разряд 4: B₁₆+1=11+1=12=C₁₆.

В шестнадцатеричной системе сумма равна С52С8₁₆. Переводя ее по правилу 2.1.3 в десятичную систему (с использованием разложения числа по степеням 16), получим:

С52С8₁₆=12×16⁴+5×16³+2×16²+12×16¹+8×16⁰=12×65536₁₀+5×4096₁₀+ +2×256₁₀+12×16₁₀+8=786432₁₀+20480₁₀+512₁₀+192₁₀+8=807624₁₀.

Ответ: 7C6A₁₆+BD65E₁₆=807624₁₀.

Пример 3. Сложить числа CA6₁₆ и 1435₈. Ответ дать в системе с основанием 4.

Решение. Переведем оба слагаемых в систему с р =4.

Первое слагаемое переведем по упрощенному варианту правила 2.1.7 (шестнадцатеричные цифры сразу представим в четверичной системе счисления):

C₁₆=30₄; A₁₆=22₄; 6₁₆=12₄; CA6₁₆=302212₄.

Второе восьмеричное слагаемое переведем по общему правилу 2.1.7 – через двоичную систему счисления:

1435₈=1100011101₂=30131₄.

Сложение выполняем в четверичной системе. Добавляемые единицы указываем вверху записи.

Ответ: CA6₁₆+1435₈=333003₄.

Дата добавления: 2014-01-20