Системы счисления с произвольными основаниями

Вычитание

Если числа представлены в разных системах счисления, их предварительно необходимо привести в одной системе. Как и при сложении, записываем одно число под другим таким образом, чтобы разряды с одинаковыми номерами располагались друг под другом. При вычитании большего числа из меньшего результату присваи­ваем знак «минус» и меняем числа местами. Вычитание производим поразрядно, передвигаясь от разряда 0 к старшим. Если из меньшего числа в разряде вычитается большее, занимаем из следующего старшего разряда одну единицу, равную р единицам текущего разряда.

Пример 4. Вычесть число 8BA39₁₆ из C5D₁₆.

Решение. Так как большее число вычитается из меньшего, присваиваем результату знак «минус» и меняем числа местами. Вверху указываем единицы, занимаемые из старших разрядов.

	B	A
–		C		D
	A	D	D	C

Действия в разрядах:

разряд 0 (единицу занимаем в разряде 1): 9₁₆+10₁₆–D₁₆= 9₁₀+ 16₁₀– 13₁₀=12₁₀=C₁₆;

разряд 1 (единицу занимаем в разряде 2): 2₁₆+10₁₆–5₁₆= 2₁₀+ 16₁₀–5₁₀=13₁₀=D₁₆;

разряд 2 (единицу занимаем в разряде 3): 9₁₆+10₁₆–C₁₆=9₁₀+ 16₁₀– 12₁₀=13₁₀=D₁₆;

разряд 3: A₁₆;

разряд 4: 8₁₆.

Ответ: C5D₁₆–8BA39₁₆=–8ADDC₁₆.

Практические задания.

1. Сложить в системе с основанием 16числа 23301₄ и 1435₈.

2.Сложить в восьмеричной системе числа 101101101₂ и 9СВ₁₆.

3. Вычесть число 3730₈ из C5D₁₆. Ответ дать в системе с осно­ванием 4.

4. Вычесть число ВCF₁₆ из 231301₄. Ответ дать в системе с ос­нованием 2.

Иногда возникает необходимость представить число в позиционной системе счисления с основанием, не равным 10 либо степени 2. Например, в системе с основанием 7 либо 13.

Обозначим основание некоторой позиционной системы счисления через p. При переводе десятичного целого числа A в данную систему по аналогии с системами, производными от двоичной, результат проще всего получить последовательным делением данного числа A на p и обратной записью получаемого результата.

Пример 1. Перевести в систему с основанием 13 из десятичной целое число 6754₁₀.

Решение. 1. Выполним последовательное деление заданного числа на 13 до тех пор, пока не будет получено число, не превышающее 13.

_ 6754 ½13

6747½ 519 ½13

7 507 ½39 ½13

12 39 ½ 3

0

Остатки от деления на каждом шаге и самое последнее частное образуют искомую запись числа в обратном порядке. Обозначая 12=С, получим в итоге:

Ответ: 6754₁₀=30C7₁₃.

При обратном переводе целого числа A_p из позиционной системы счисления с произвольным основанием p в десятичную проще всего использовать представление числа A_p в виде суммы степеней основания p: А_p =a _kр^k +...+a₂ р ²+a₁ p ¹+a₀ р ⁰.

Пример 2. Перевести в десятичную систему число, представленное в системе с основанием 17 как Е2С9₁₇.

Решение. Используем разложение числа по степеням основания 17, выражаем степени в десятичной системе и суммируем:

Е2С9₁₇ = Е×17³+2×17²+С×17¹+9×17⁰ = 14×4913+2×289+12×17+9×1 = 68782₁₀+578₁₀+204₁₀+9₁₀ = 69573₁₀.

При переходе от одной произвольной системы счисления к другой проще использовать в качестве промежуточной десятичную систему счисления.

Пример 3. Перевести целое число А961, записанное в системе счисления с основанием 11, в систему счисления с основанием 7.

Решение. Вначале, используя разложение числа по степеням основания 11, представим число в десятичной системе:

А961₁₁=10×11³+9×11²+6×11¹+1×11⁰=10×1331+1089+66+1=14466₁₀.

Затем последовательно делим полученное десятичное число на 7, пока не будет получено частное, меньшее 7:

_ 14466 ½7

14462½ 2066 ½7

4 2065 ½ 295 ½7

1 294 ½ 42½7

1 42 ½6

0

Ответ получим, записывая остатки и последнее частное в обратном порядке: А961₁₁= 60114₇.

Если одно основание является степенью другого, р=q^s, то при быстром переводе числа из системы р с основанием в систему с основанием q необходимо один разряд числа в первой системе представить в виде s разрядов числа во второй системе счисления.

Пример 4. Перевести целое число FА7, записанное в системе счисления с основанием 27, в систему счисления с основанием 3.

Решение. Поскольку 27=3 ³, то последовательно раскладываем все цифры записи в системе с основанием 27 на трех разрядах троичного числа:

F₂₇=15=1×3²+2×3¹+0×3⁰=120₃,

А₂₇=10=1×3²+0×3¹+1×3⁰=101₃,

7₇=0×3²+2×3¹+1×3⁰=021₃.

Записывая слитно полученные выражения, получим

Ответ. FА7₂₇=120101021₃.

Практические задания.

1. Перевести в систему с основанием 15 число 43510₆.

2. Перевести в систему с основанием 12 число АА98₁₁.

3. Перевести в систему с основанием 7 число ABC₁₃.

Дата добавления: 2014-01-20