Системы с распределенным контролем

Усложним задачу дальше. Решим задачу управления для структуры, приведенной на рисунке 12. Такие структуры называются системами с распределенным контролем.

Рис. 12. Система с распределенным контролем

Это – перевернутая веерная структура, в которой один агент подчинен нескольким начальникам. Ситуация достаточно распространена, в частности, в проектном управлении: есть агент, который работает по какому-то проекту – он подчинен руководителю проекта, в то же время, он работает в подразделении – подчинен своему функциональному руководителю. Или преподаватель прикреплен к кафедре, и его приглашают читать лекции на другую кафедру или факультет.

Система с распределенным контролем характеризуется тем, что, если в веерной структуре имела место игра агентов, то в этой структуре имеет место игра центров. Если мы добавим сюда еще нескольких агентов, каждый из которых подчинен разным центрам, то получится игра и тех, и других на каждом уровне (см. рисунок 5д). Опишем модель, которая сложнее рассмотренной выше многоэлементной системы, т.к., если игра агентов заключается в выборе действий, то игра центров заключается в выборе функций стимулирования агента, зависящих от его действий. В игре центров стратегией каждой из них является выбор функции.

Целевая функция i -го центра имеет следующий вид:

и представляет собой разность между его доходом, который он получает от действия агента, и стимулированием, выплачиваемым агенту.

Целевая функция агента: , то есть он получает стимулирования от центров, которые суммируются, и несет затраты.

Предположим, что действия агента принадлежат множеству A, которое будет уже не отрезком действительной оси (часы, шт. и т.д.), а может быть многомерным множеством (отражать разные виды деятельности), тогда функция затрат будет отображать множество действий во множество действительных чисел.

Определим множество выбора агента – множество максимумов его целевой функции в зависимости от стимулирования со стороны центров:

,

где s (×) = { s₁ (×), s₂ (×), …, s_n (×)}– вектор-функция стимулирования.

Поведение агента понятно: в зависимости от вектора стимулирований агент будет выбирать действие, которое будет максимизировать его целевую функцию, представляющую собой разность между его суммарным вознаграждением и затратами.

Тогда центры должны решить, какое стимулирование назначать агенту. Причем, каждый должен решить сам, как ему управлять подчиненным. Центры оказываются "завязанными" на одного подчиненного, и что он будет делать, зависит от того, что ему предложит каждый из центров.

Каждый из центров не может рассуждать по отдельности, т.е. если он попросит агента сделать что-то, то тот не обязательно это сделает, т.к. другой центр может попросить от него другого и пообещает заплатить больше. Таким образом, центры вовлечены в игру и должны прийти к равновесию, подбирая соответствующие функции стимулирования и прогнозируя, что в ответ на вектор стимулирований будет выбирать агент.

Задача достаточно громоздка, поэтому приведем несколько известных результатов, которые позволяют ее упростить.

Первый результат говорит следующее. В теории игр принято использовать два основных подхода: равновесие Нэша и эффективность по Парето, которые, как сказано выше, не всегда совпадают. Оказывается, что в системе с распределенным контролем множество равновесий Нэша пересекается с множеством Парето, т.е. можно из множества равновесий Нэша выбрать такое, которое является эффективным по Парето. Есть теорема, которая говорит, что существует класс простых функций стимулирования, которые гарантируют Парето-эффективность равновесия Нэша игры центров. Эти функции стимулирования имеют компенсаторный вид:

.

Содержательно эта система стимулирования значит, что существует некоторое действие агента (план x), относительно которого центры договорились выплачивать агенту стимулирование в случае, если он выберет это действие. При этом i -ый центр платит за выполнение плана. В случае, если агент выполняет другое действие, то он не получает вознаграждения вовсе. Таким образом, этот результат позволяет нам перейти от игры центров, в которой стратегией каждого является выбор функции, к игре, в которой стратегией является выбор одного действия агента и размера вознаграждения.

Причем относительно вектора вознаграждений мы можем сказать следующее. Посмотрим на целевую функцию агента: он получает сумму вознаграждений, и несет какие-то затраты. Если затраты в нуле равны нулю, то мы должны быть уверены, что с точки зрения агента суммарное стимулирование должно быть не меньше, чем затраты: .

С другой стороны Парето-эффективными с точки зрения центров являются такие суммы вознаграждений, которые нельзя уменьшить, не изменив действия агента. Значит, сумма вознаграждений должна быть в точности равна затратам.

Пользуясь этим результатом, охарактеризуем равновесие игры центров, то есть найдем такие условия, при которых они договорятся, чего хотят добиться от агента. Для этого рассчитаем следующие величины:

, i Î K.

Если i -ый центр сам взаимодействует (работает в одиночку) с агентом, то он будет использовать компенсаторную систему стимулирования, и прибыль, которую он получит, будет равна величине W_i (это следует из решения одноэлементной задачи – см. выше).

Найдем условия того, что каждому центру будет выгодно взаимодействовать с другими центрами (совместно управлять агентом), по сравнению с индивидуалистическим поведением, когда он говорит: пусть подчиненный работает только на меня.

Запишем эти условия следующим образом:

.

В случае если центры взаимодействуют друг с другом, i -ый центр получает доход H_i (x) от выбора агентом действия и платит агенту l_i. При этом значение его целевой функции должно быть не меньше, чем если бы он взаимодействовал с агентом в одиночку, что даст ему полезность W_i. Кроме того, должно быть выполнено условие, что сумма вознаграждений агента должна быть равна его затратам.

Обозначим множество действий агента и векторов компенсаций его деятельности со стороны центров, таких, что сумма этих компенсаций в точности равна затратам агента по реализации этого действия, и каждый из центров получает выигрыш, не меньший, чем если бы он действовал в одиночку

Область L представляет собой подмножество декартова произведения множества A на k -мерный положительный октант. Множество есть множество компромисса для системы с распределенным контролем. Она содержательно и интуитивно похожа на область компромисса в игре одного центра и одного агента.

Утверждение 5.

1) Если область компромисса L не пуста, тогда имеет место сотрудничество центров: центры могут договориться, какой вектор действия агенту выбирать и кто сколько должен заплатить;

2) Возможна ситуация, когда эта область L пуста. Тогда это будет ситуация конкуренции центров.

В случае конкуренции исходом игры центров в содержательном смысле будет следующее: начальники между собой не договорились, как использовать подчиненного. Тогда первый начальник считает, что бы он хотел получить от подчиненного, действуя в одиночку. Аналогично остальные. Каждый из начальников говорит подчиненному: «Давай ты будешь работать на меня – я тебе плачу столько-то». Начинает он с компенсации затрат. Каждый сказал, подчиненный сидит на нуле. Кто-то из начальников догадывается, и говорит: "я тебе оплачу затраты и выдам еще надбавку при условии, что ты будешь работать на меня". Это лучше для подчиненного, т.к. он получает не ноль, а что-то сверх компенсации затрат. Начинается конкуренция центров, каждый центр "перетягивает" на себя агента. В такой ситуации наилучшее положение у агента. Из центров победит тот, у которого больше значение W_i, т.е. параметр, характеризующий прибыль, которую получает центр от взаимодействия с агентом. Кто более эффективно взаимодействует с агентом, тот его и "переманит".

Если мы упорядочим центры в порядке убывания W_i: , то победит тот, у кого W_i максимально, заплатив агенту, помимо компенсации затрат, W₂ плюс бесконечно малую величину, чтобы переманить агента у другого (второго в данном упорядочении) центра.

Ситуация упорядочения центров по эффективности, когда побеждает тот, кто обладает максимальной эффективностью, причем побеждает по цене следующего за ним, называется аукционным решением (аукцион второй цены).

Найдем условия существования режима сотрудничества. Введем следующую величину: максимум суммарного выигрыша центров, т.е. определим действие агента, которое доставляет максимум суммы доходов центров минус затраты агента:

.

Утверждение 6. Режим сотрудничества может быть реализован, т.е. область компромисса не пуста, тогда и только тогда, когда сумма индивидуальных выигрышей центров от их деятельности по отдельности не больше, чем суммарный выигрыш системы при совместном взаимодействии центров: .

Содержательная интерпретация утверждения 6 следующая: свойство эмерджентности системы (целое больше, чем сумма частей). В данном случае целое – сотрудничество центров – должно быть больше, чем сумма частей. Т.е., если в системе присутствует синергетический эффект, то центры смогут прийти к компромиссу.

Дата добавления: 2014-01-20