Абсолютно упругий и неупругий центральный удар

Проиллюстрируем применение законов сохранения импульса и энергии на примере удара тел.

Удар (или соударение) – это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время.

При ударе в телах возникают значительные внутренние силы, поэтому внешними силами, действующими на них, можно пренебречь и рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему, применяя к ней законы сохранения.

Во время удара тела деформируются и кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара происходит перераспределение энергии между соударяющимися телами, но относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения (нет идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей). Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и до удара называется коэффициентом восстановления :

. (3.4.1)

Если , то тела называют абсолютно неупругими, если – абсолютно упругими. Для большинства реальных тел . Например, для шаров из слоновой кости , для медных шаров , для свинцовых .

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел перпендикулярно к поверхности их соприкосновения, называется линией удара.

Удар называют центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс.

Абсолютно упругий центральный удар – столкновение двух тел, в результате которого во взаимодействующих телах не остается деформаций, а вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию.

В этом случае выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии. Пусть шары массами и имели до удара скорости и соответственно. После удара их скорости стали и . Направления скоростей до удара показаны на рис. 3.4.1, после удара – на рис. 3.4.2. Запишем закон сохранения импульса (в проекции на ось Ох) и закон сохранения кинетической энергии:

Произведем преобразование

Откуда: , и .

Проанализируем эти формулы.

1. Пусть . Тогда и . Следовательно, при ударе шаров с равной массой они «обмениваются» скоростями.

2. Пусть (второй шар покоится). Тогда .

а) Если , то и . Следовательно, первый шар после удара остановится, а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался до удара первый шар.

б) Если , то и . Следовательно, первый шар будет двигаться после удара в прежнем направлении, но с меньшей скоростью. Скорость второго шара после удара будет больше, чем первого шара, и он будет двигаться в том же направлении, в котором двигался до удара первый шар.

в) Если , то по модулю и проекция на направление оси отрицательна. Следовательно, направление движения первого шара изменится – он отскакивает обратно. Скорость второго шара после удара будет меньше, чем первого, и он будет двигаться в том же направлении, в котором двигался до удара первый шар.

г) Если (столкновение шара со стеной), то и .

Следовательно, первый шар упруго отскакивает от стены и меняет направление своего движения на противоположное.

Абсолютно неупругий центральный удар – столкновение двух тел, в результате которого тела начинают двигаться как единое целое.

Пусть шары массами и имели до неупругого удара скорости и соответственно. После удара они стали двигаться как одно целое со скоростью . Направления скоростей до удара показаны на рис. 3.4.3, после удара – на рис. 3.4.4. При

абсолютно неупругом ударе выполняется только закон сохранения импульса:

.

Спроецируем это векторное уравнение на ось : , откуда

.

Если шары двигались навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар с большим импульсом.

В частном случае, если , то .

Закон сохранения кинетической энергии не выполняется, т.к. в процессе взаимодействия шаров между ними действуют силы, зависящие от скорости движения (этим они похожи на силы сопротивления), являющиеся диссипативными. Часть кинетической энергии переходит во внутреннюю. «Потеря» кинетической энергии

вследствие деформации равна: . Подставляя найденное значение , получим .

Проанализируем полученные формулы.

1. Если второе тело покоилось , то скорость шаров после удара . Во внутреннюю энергию переходит энергия .

2. Если (молот и наковальня), то , поэтому вся кинетическая энергия молота переходит в энергию деформаций куска металла (поковки), лежащей между молотом и наковальней.

3. Если (молоток и гвоздь), то и практически вся кинетическая энергия молотка затрачивается на перемещение гвоздя, а не на его деформацию.

Пример 3.4.1. Шар массой , движущийся горизонтально с некоторой скоростью , столкнулся с неподвижным шаром массы . Шары абсолютно упругие, удар прямой. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Дано: Решение:

Сделаем чертеж. Укажем направление скорости первого шара до удара (рис. 3.4.5) и возможные направления скоростей шаров после удара (рис. 3.4.6) (если направление выбрано неверно, то скорость получится со знаком «–»).

Доля энергии, переданной первым шаром второму: , где кинетическая энергия первого шара до удара; , скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Для нахождения воспользуемся тем, что при абсолютно упругом ударе одновременно выполняются законы сохранения импульса (закон сохранения импульса записан в проекции на ось Ох) и

кинетической энергии: .

Решая совместно эти уравнения, найдем , следовательно, .

Таким образом, доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров и не изменится, если шары поменяются местами.

Ответ: .

Пример 3.4.2. Два шара массами и движутся навстречу друг другу со скоростями и . Удар неупругий. Определить: 1) скорость шаров после удара; 2) долю кинетической энергии шаров, превратившуюся во внутреннюю энергию.

Дано: Решение:

Сделаем чертеж. Укажем направление скоростей шаров до удара (рис. 3.4.7) и после удара (рис. 3.4.8). Выполняется только закон сохранения импульса . Спроецируем векторное уравнение на ось Ох: . Следовательно, скорость шаров после неупругого удара равна . Кинетическая энергия шаров до удара , после удара .

В результате неупругого удара шаров их кинетическая энергия уменьшается, за счет чего увеличивается их внутренняя энергия.

Долю кинетической энергии, пошедшей на увеличение их внутренней энергии, определим из соотношения .

Ответ: , .

Пример 3.4.3. Молот массой падает на поковку, масса которой вместе с наковальней . Скорость молота в момент удара равна . Найти: а) кинетическую энергию молота в момент удара ; б) энергию, переданную фундаменту ; в) энергию, затраченную на деформацию поковки ; г) к.п.д. удара молота о поковку. Удар молота рассматривать как неупругий.

Дано: Решение:

а) Кинетическую энергию молота в момент удара найдем по формуле .

б) Чтобы найти энергию, переданную фундаменту, найдем скорость системы молот – поковка (с наковальней) непосредственно после удара. Запишем закон сохранения импульса, который выполняется при неупругом ударе, в проекции на ось (положительное направление оси совпадает с направлением движения молота) , где скорость поковки (с наковальней) перед ударом, скорость молота и поковки (вместе с наковальней) после удара. Учитывая, что до удара поковка покоилась , находим, что . В результате сопротивления фундамента скорость быстро гасится, а кинетическая энергия, которой обладает система молот – поковка (с наковальней), передается фундаменту. Следовательно, энергия, переданная фундаменту . Поскольку , запишем .

в) Молот до удара обладал энергией . Энергия, переданная фундаменту . Следовательно, на деформацию поковки использовалась энергия .

г) Назначение молота – вызвать деформацию поковки. Следовательно, энергию следует считать полезной. Таким образом, , т.е. .

Ответ: , , , .

Пример 3.4.4. Молотком, масса которого , забивают в стену гвоздь массой . Определить к.п.д. удара молотка.

Решение:

Определим энергию, затраченную на углубление гвоздя в стену. Предварительно найдем скорость системы молоток – гвоздь непосредственно после удара. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось Ох (положительное направление оси совпадает с направлением движения молотка): , где скорость молотка до удара, скорость гвоздя до удара, скорость молотка и гвоздя после удара.

Гвоздь перед ударом покоился . Поэтому .

В результате сопротивления стены скорость молотка и гвоздя после удара быстро гасится, а кинетическая энергия, которой обладает система молоток – гвоздь, затрачивается на углубление гвоздя в стену.

Эту энергию находим по формуле .

Т.к. молоток служит для забивания гвоздя в стену, то энергию следует считать полезной. Учитывая, что энергия молотка в момент удара , то .

Искомый к.п.д. , т.е. .

Ответ: .

Дата добавления: 2014-01-20