Прямая сумма подпространств. Проекция

Определение 7.12 Сумма подпространств и называется прямой, если . Обозначение прямой суммы .

Теорема 7.7. Пусть . Тогда любой вектор из V единственным образом представляется в виде суммы векторов из подпространств и , x=y+z. Вектор y называется проекцией x на параллельно , а вектор z называется проекцией x на параллельно .

Доказательство. Допустим, найдётся вектор , который раскладывается в сумму векторов из подпространств и не единственным образом. Пусть , где и . Тогда справедливо равенство, в левой части которого стоит вектор из , а в правой – вектор из . Поскольку пересечение этих подпространств состоит только из нулевого вектора, то , и, значит, a=c, b=d.

Следствие 7.9. Если сумма прямая, то и базис получается объединением базисов V и W.

Доказательство. По определению прямой суммы размерность пересечения равна нулю, и, значит, (Теорема 7.6). Обозначим через базис V, а через - базис W. Покажем линейную независимость системы векторов . Допустим, найдутся коэффициенты, что , тогда справедливо равенство . Поскольку в левой части равенства стоит вектор из V, а в правой – вектор из W, то и , и, значит, все коэффициенты равны нулю. Число векторов в линейно независимой системе векторов совпадает с размерностью суммы пространств, следовательно, она является базисом.

Дата добавления: 2014-01-20