Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Изоморфизм линейных пространств

Определение 7.13 Линейные пространства над числовым полем P называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между векторами этих пространств, сохраняющее операции сложения векторов и умножения на скаляр.

Для доказательства изоморфизма линейных пространств V и W требуется построить взаимно однозначное отображение , обладающее свойствами сохранения операции:

1. ,

2. ,

Следствие 7.10. При изоморфизме нулевой вектор переходит в нулевой вектор.

Доказательство. Действительно, .

Лемма 7.3 Пусть V, W, U линейные пространства над полем P. Пусть W изоморфно V, а V изоморфно U, тогда W изоморфно U.

Доказательство. По условию существуют взаимно однозначные соответствия и , обладающие свойствами сохранения операции, то есть

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

Отображение , получаемое последовательным применением и , является взаимно однозначным соответствием между пространством W и пространством U. Далее, имеем

1. , где .

2. , .

Тем самым изоморфизм установлен.

Лемма 7.4 Пространство V над числовым полем P размерности n изоморфно арифметическому пространству .

Доказательство. Пусть - базис V. Каждому вектору x из V поставим в соответствие его координаты. Данное соответствие является взаимно однозначным (Теорема 7.4) и сохраняет операции. Тем самым изоморфизм установлен.

Лемма 7.5. При изоморфизме базис переходит в базис.

Доказательство. Пусть - изоморфизм пространства V на W, - базис V. Разложим произвольный вектор x из V по базису . По определению изоморфизма , и значит, в силу взаимно однозначности отображения, через систему векторов линейно выражается любой вектор пространства W. Методом от противного покажем линейную независимость системы векторов . Пусть не так, тогда найдутся числа , не все равные нулю, что . Последнее равенство, используя свойства изоморфизма, запишем в виде . В силу взаимно однозначности изоморфизма выводим , т.е. система векторов - линейно зависима. К полученному противоречию с условиями нас привело допущение о линейной зависимости системы векторов . Таким образом, система векторов является полной линейно независимой системой, т.е. базисом линейного пространства W.

Теорема 7.10. Линейные пространства V и W над полем P изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны.

Доказательство. Если размерности пространств V и W совпадают и равны n, то оба пространства изоморфны (Лемма 7.4), а, значит и между собой (Лемма 7.3). Обратно, если пространства изоморфны, то при изоморфизме базис переходит в базис (Лемма 7.5), и, значит, размерности пространств равны.

Изоморфизм пространств позволяет переносить терминологию, принятую в одном пространстве на изоморфные пространства. Например, можно говорить о прямой в пространстве многочленов.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Изменение координат вектора при изменении базиса | Ранги матрицы
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 438; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.