Свойства дисперсии. Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D (С) = 0.

Доказательство. По определению дисперсии,

D (С) = M {[ C – M (C)]²}.

Пользуясь первым свойством математического ожидания (математическое ожидание постоянной равно самой постоянной), получим

D (С) = M [(C – C)²] = M (0) = 0.

Итак,

D (С) = 0.

Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния, конечно, не имеет.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D (СX) = C ² D (X).

Доказательство. По определению дисперсии имеем

D (СX) = M {[ CX – M (CX)]²}.

Пользуясь вторым свойством математического ожидания (постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания), получим

D (СX) = M {[ CX – CM (X)]²} = M { C ²[ X – M (X)]²} = C ² M {[ X – M (X)]²} = C ² D (X).

Итак,

D (СX) = C ² D (X).

Свойство становится ясным, если принять во внимание, что при | С | > 1 величина СХ имеет возможные значения (по абсолютной величине), большие, чем величина X. Отсюда следует, что эти значения рассеяны вокруг математического ожидания М (СХ) больше, чем возможные значения X вокруг М (Х), т.е. D (СХ) > D (X). Напротив, если 0 < | С | < 1, то D (СХ) < D (X).

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D (X + Y) = D (X) + D (Y)

Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем

D (X + Y) = М [(X + Y)²] – [ М (X + Y)]².

Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания суммы нескольких величин и произведения двух независимых случайных величин, получим

Итак,

D (X + Y) = D (X) + D (Y).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Например, для трех слагаемых имеем

.

Для произвольного числа слагаемых доказательство проводится методом математической индукции.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

D (С + Y) = D (X).

Доказательство. Величины С и X независимы, поэтому, по третьему свойству,

D (C + X) = D (С)+ D (X).

В силу первого свойства D (С) = 0. Следовательно,

D (С + Y) = D (X).

Свойство становится понятным, если учесть, что величины X и Х + С отличаются лишь началом отсчетам, значит, рассеяны вокруг своих математических ожиданий одинаково.

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D (X – Y) = D (X) + D (Y).

Доказательство. В силу третьего свойства

D (X – Y) = D (X) + D (–Y).

По второму свойству,

D (X – Y) = D (X) + (– 1)² D (Y),

или

D (X – Y) = D (X) + D (Y).

Дата добавления: 2014-01-20