Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна. Чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D (X) = npq.

Доказательство. Рассмотрим случайную величину X – число появлений события А в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в отдельных испытаниях:

X = X ₁ + X ₂ +…+ X_n,

где Х ₁ – число наступлений события в первом испытании, X ₂ – во втором,..., Х_n – в n -м. Величины X ₁, X ₂,…, X_n взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных, поэтому мы вправе воспользоваться следствием 1:

D (X) = D (X ₁) + D (X ₂) +…+ D (X_n). (7.1)

Вычислим дисперсию Х ₁ по формуле

. (7.2)

Величина Х ₁ – число появлений события А в первом испытании, поэтому М (X ₁) = p.

Найдем математическое ожидание величины , которая может принимать только два значения, а именно: 1² с вероятностью р и 0² с вероятностью q:

.

Подставляя найденные результаты в соотношение (7.2), имеем

D (X ₁) = p – p ² = p (1 – p) = pq.

Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна pq. Заменив каждое слагаемое правой части (7.1) через pq, окончательно получим

D (X) = npq.

Замечание. Так как величина X распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: дисперсия биномиального распределения с параметрами n и р равна произведению npq.

Пример. Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X – числа появлений события в этих испытаниях.

Решение. По условию, n = 10, р = 0,6. Очевидно, вероятность непоявления события

q = 1 – 0,6 = 0,4.

Искомая дисперсия

D (X) = npq = 10×0,6×0,4 = 2,4.

Дата добавления: 2014-01-20