Определение функции распределения

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он неприменим, например, для непрерывных случайных величин, поскольку для нее нельзя даже перечислить все ее возможные значения. Кроме того, как будет показано позже, вероятность каждого отдельно взятого значения н.с.в. равна нулю! Представим себе вероятность того, что рост мужчины – н.с.в. – точно равен метров; купленная лампа проработает – н.с.в. – ровно 900 часов;… Удивительно интересный факт: событие возможное, но имеет нулевую вероятность.

Действительно, рассмотрим случайную величину X, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (а, b). Можно ли составить перечень всех возможных значений X? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот пример указывает на целесообразность дать общий способ задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины.

Для характеристики поведения н.с.в. целесообразно использовать вероятность события { X < x } (а не { X = x }), где х – некоторое действительное число. С точки зрения практики нас мало интересует событие, состоящее в том, что лампочка проработает ровно 900 часов, то есть Х = 900. Более важным является событие вида { X < 900} (или { X > 900}). Такое событие имеет ненулевую вероятность; при изменении х вероятность события { X < x } в общем случае будет меняться. Следовательно, вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее х, т.е Р { X < x } является функцией от х.

Универсальным способом задания закона распределения вероятностей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является ее функция распределения, обозначаемая F_Х (х) (или просто F (х) без индекса, если ясно, о какой с.в. идет речь), т.е. F (х) – функция от х.

Определение. Функцией распределения называют функцию F (х), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.

. (*)

F (х) для любого числа x Î R равна вероятности события { X < x }. Функцию F (х) называют также интегральной функцией распределения.

Геометрически это равенство можно истолковать так: F (х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, то есть случайная точка Х попадет в интервал (- ¥, х), см. рис. 9.1.

Рис. 9.1

Уточним определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Дата добавления: 2014-01-20