Относительно оси, проходящей через центр масс тела

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы

Тело массой	Положение оси	Момент инерции
Прямой тонкий стержень длиной	Проходит через середину перпендикулярно стержню
Тонкие кольцо, обруч, маховик, полый тонкостенный цилиндр радиусом	Проходит через центр перпендикулярно к плоскости основания
Сплошной цилиндр (диск) радиусом	Проходит через середину перпендикулярно к плоскости основания
Сплошной шар радиусом	Проходит через центр шара
Полый тонкостенный шар радиусом	Проходит через центр шара

Пример 4.1.1. Три маленьких шарика массой каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной и скреплены между собой. Определить момент инерции системы относительно оси: 1) перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности; 2) лежащей в плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности и одну из вершин треугольника. Массой стержней, соединяющих шары, пренебречь.

Решение:

1. Пусть ось вращения проходит через центр описанной окружности перпендикулярно плоскости треугольника (рис. 4.1.5.а). Имеем систему, состоящую из трех материальных точек, расположенных на одинаковом расстоянии от оси вращения.

Поэтому: .

2. Пусть ось вращения лежит в плоскости треугольника и проходит через центр описанной окружности и одну из вершин треугольника (рис. 4.1.5.б). Имеем систему, состоящую из трех материальных точек, одна из которых лежит на оси вращения , а две другие расположены от оси вращения на одинаковом расстоянии .

Поэтому: .

Ответ: , .

Пример 4.1.2. Длина одной стороны плоской прямоугольной однородной пластины , масса . Найти момент инерции пластины относительно оси , совпадающей с другой ее стороной.

Дано: Решение:

Разобьем пластину на тонкие полоски (элементы) бесконечно малой ширины , расположенные на расстоянии до оси вращения (рис. 4.1.6). Поскольку , считаем, что расстояние от всех точек полоски до оси одинаково.

Пластина однородна, следовательно, поверхностная плотность одинакова по всей пластине.

Масса полоски , где площадь полоски.

Искомый момент инерции пластины

.

Ответ: .

Дата добавления: 2014-01-20