Теорема Штейнера

Нахождение моментов инерции в рассмотренных в предыдущем параграфе примерах 1-5 значительно упрощалось вследствие того, что момент инерции тел определялся относительно оси симметрии, проходящей через их центр масс.

Если известен момент инерции какого-либо тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции тела относительно произвольной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

. (4.2.1)

Пример 4.2.1. Найти момент инерции обруча массой и радиусом относительно оси , перпендикулярной обручу и проходящей через его край.

Решение:

По теореме Штейнера . Момент инерции обруча относительно оси, проходящей через его центр масс , равен (см. таблицу 1) .

Расстояние между осями (рис. 4.2.1), следовательно, искомый момент инерции равен .

Ответ: .

Пример 4.2.2. Найти момент инерции тонкого стержня массой и длиной относительно оси , перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на одну треть его длины.

Решение:

По теореме Штейнера . Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс , равен (см. таблицу 1) . Расстояние между осями (рис. 4.2.2), следовательно, искомый момент инерции равен .

Ответ: .

Пример 4.2.3. Два шара радиусами и массой каждый скреплены тонким стержнем массой и длиной . Найти момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр тяжести.

Решение:

Момент инерции системы (рис. 4.2.3) складывается из моментов инерции шаров и момента инерции стержня.Ось вращенияне проходит через центр масс шаров, следовательно, для нахождения момента инерции каждого шара необходимо применить теорему Штейнера: .

Ось вращенияпроходит через центр масс стержня, следовательно, . Таким образом, искомый момент инерции системы равен

Дата добавления: 2014-01-20