Комплексная форма уравнений Максвелла и теоремы Умова-Пойнтинга

Лекция 12

При решении различных задач электродинамики, связанных с излучением и распространением радиоволн в различных средах, приходится иметь дело с узкополосными колебаниями, близкими по своей форме к монохроматическим, т.е. изменяющимся по строгому синусоидальному или косинусоидальному закону. Эти колебания обычно представляют в виде:

.

У монохроматических колебаний на интервале амплитуда и .

Если колебания не являются монохроматическими, то их можно разложить в ряд Фурье, состоящий из суммы монохроматических колебаний и изучать поведение каждой гармоники отдельно.

Монохроматические колебания вида:

,

целесообразно представлять в комплексной форме как действительную часть комплексной экспоненты

,

где

.

Величину называют комплексной амплитудой колебания.

Такой метод представления вещественных функций в виде реальных или мнимых частей комплексных экспонент называется символическим. Символический метод облегчает выполнение математических операций над тригонометрическими функциями, описывающими колебания синусоидального или косинусоидального характера.

Применяя символический метод, будем представлять электрическую и магнитную компоненты монохроматического электромагнитного поля, а также плотности токов и зарядов в виде

, ,

, , .

Производные

,

.

Тогда система уравнений Максвелла в дифференциальной форме примет такой вид:

Первое из этих уравнений можно записать еще таким образом

,

где величина

,

называется комплексной диэлектрической проницаемостью среды.

В приведенных выше выражениях величины являются комплексными амплитудами соответствующих колебаний. В дальнейшем для упрощения записей формул во многих случаях эти амплитуды будем обозначать как . Тем более что уравнения Максвелла (12.4) справедливы и для мгновенных значений гармонических колебаний.

Одной из операций, которая встречается в расчетах в различных задачах радиотехники и электродинамики, является операция умножения математических выражений, описывающих гармонические колебания

.

Составим произведение этих функций в комплексной форме,

,

где

,

комплексные амплитуды колебаний .

Представим функции в таком виде

.

Легко найти, что

.

Очевидно, что в этом реальном (вещественном) выражении под знаками реальных частей комплексных величин и можно брать их комплексно сопряженные значения и .

Рассмотрим случаи, когда произведение функций и - это либо произведение напряженностей электрического и магнитного полей

,

либо абсолютное значение вектора Умова-Пойнтинга

.

Обычно .

Эти произведения характеризуют мгновенные значения мощности или энергии поля, изменяющиеся так же, как и функции (12.6) по гармоническому закону. Однако при расчетах расхода энергии или мощности целесообразно оценивать этот расход в среднем, используя известную в математическом анализе теорему о среднем значении функции,

.

В радиотехнических задачах среднее значение произведения функций чаще всего находят за один период или несколько целых периодов их изменения по гармоническому закону,

.

Часто необходимость усреднения объясняется тем, что потери мощности на тепло инерционных в тепловом отношении материалов связаны не с мгновенной мощностью, а со средней.

Подставляя (12.7) в (12.8) получим:

Первое слагаемое, очевидно, практически равно нулю, т.к. при интегрировании знакопеременного колебания положительные и отрицательные площади полупериодов в сумме дают ноль. В принципе, если усреднение осуществляется на большом промежутке времени, включающем большое, но не целое число периодов, то все равно второй интеграл будет значительно больше первого, т.к. первый будет равен площади не более одного полупериода колебаний.

Тогда средние за период плотности электрической, магнитной энергии и вектора Умова-Пойнтинга будут равны

Аналогично,

,

.

В предыдущих лекциях было установлено, что объемная плотность тепловых потерь рассчитывается по формулам,

.

Средняя объемная плотность тепловых потерь,

,

или

,

,

.

Дата добавления: 2014-01-20