Введение. Геометрическая вероятность

Геометрическая вероятность

Аксиомы теории вероятностей

Формулы комбинаторики

Определение вероятности

Алгебра событий

Основные понятия

Введение

Лекция 4. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

План лекции:

До появления теории вероятностей как действительно общепризнанной теории в науке господствовал детерминизм, согласно которому осуществление определённых условий однозначно определяет результат. Классическим примером является механика: если известны начальное положение, скорость материальной точки и действующие силы, то можно определить её дальнейшее движение. Развитие этого подхода привело знаменитого французского математика и механика П. Лапласа к своеобразной механистической модели мироздания.

Однако практика показала, что этот подход далеко не всегда применим. Во многих случаях предсказать наступление данного явления при реализации соответствующих условий невозможно, оно может произойти, а может и не произойти. Например, в механике мы никогда абсолютно точно не знаем начальных данных, действующих сил, следовательно, и в дальнейшем движении есть некоторая неопределённость. Дальнейшее развитие науки, в особенности физики, ещё более поставило под вопрос единственность детерминистического подхода к изучению многих явлений. Более того, многие выдающиеся естествоиспытатели и философы современности склонны даже считать, что все без исключения законы природы на самом деле имеют вероятностный характер. Ещё больше сомнений в справедливости детерминизма дало развитие естествознания (генетика, медицина и др.) и общественных наук (экономика, в частности страховое дело, демография и многие другие).

Приведём более простые примеры: при бросании монеты она может упасть кверху гербом или цифрой, продолжительность жизни определённого человека заранее неизвестна. Число таких примеров из различных областей науки и техники можно неограниченно продолжить.

Индивидуальные результаты таких опытов непредсказуемы, однако их многократное повторение приводит к интересным закономерностям. Если бросить одну монету, никто не сможет предсказать, какой стороной она упадёт кверху, но если бросить две тонны монет, то каждый скажет, что примерно одна тонна упадёт кверху гербом.

Изучение закономерностей, возникающих при массовых, однородных опытах, и является предметом теории вероятностей. Однако существует и в последнее время находит всё большее признание другой взгляд, согласно которому методы и результаты теории вероятностей применимы не только к массовым, но и к единичным, даже уникальным явлениям и сооружениям. Действительно, во-первых, даже уникальное сооружение, как правило, состоит из массовых элементов, во-вторых, вероятность есть некоторая объективная мера возможности наступления события. Эта мера сохраняет свой смысл независимо от того, является это событие многократно воспроизводимым или единичным. Покупая единственный телевизор, мы, естественно, выбираем более надёжную марку; возникновение жизни на Земле - уникальное явление, но астрономы говорят о вероятности этого в нашей и других галактиках.

Зарождение теории вероятностей относится к середине XVII века и связано с работами Б. Паскаля, П. Ферма, Х. Гюйгенса в области теории азартных игр. Дальнейшее быстрое развитие теории вероятностей связано с именами Я. Бернулли, П. Лапласа, К. Гаусса и других учёных. Значительный вклад в её развитие внесли русские математики П. Чебышев,А.Ляпунов, А. Марков, С. Берштейн, А. Колмогоров и многие другие.

Статистикой называется наука о сборе, классификации, обработке и анализе всевозможных качественных и количественных данных, о получении из фактов обобщающих выводов.

Одна из задач статистики – сделать имеющуюся информацию наглядной. Здесь помощь оказывают как математические приемы, так и диаграммы, таблицы, графики.

В статистике применяют два основных подхода: метод сплошных наблюдений (описательная статистика) и выборочный метод.

Метод сплошных наблюдений предполагает изучение всех элементов совокупности. Он применяется, если надо изучить успеваемость в группе или на факультете, работу предприятия и его филиалов и т.д., когда количество изучаемых объектов не слишком велико.

Когда количество объектов велико или сплошное обследование невозможно в силу того, что обследование может привести к уничтожению объекта (например, чтобы узнать качество консервов, банку надо вскрыть), то есть когда не хотят проводить полное обследование объекта, пользуются выборочным методом, при котором из совокупности выбирают ограниченное число объектов и их подвергают изучению. Тогда возникает вопрос, насколько результаты такого обследования будут справедливы для всей совокупности. В этом вопросе хорошим помощником исследователя является математическая статистика. Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.

Математическая статистика возникла в XVII веке и создавалась параллельно с теорией вероятностей. В России методы математической статистики применялись к демографии и страховому делу В.Я. Буняковским еще в середине прошлого века. В СССР значительные результаты в области математической статистики получены В.И. Романовским, А.Н. Колмогоровым, Е.Е. Слуцким, Н.В. Смирновым, Ю.В. Линником. Большой вклад внесли в математическую статистику английские (Стьюдент, Р. Фишер, Э. Пирсон), а также и американские (Ю. Нейман, А. Вальд) ученые. Все они обогатили аналитический аппарат новыми методами. Решающее значение для развития математической статистики имели работы русской классической школы теории вероятностей 2-й половины XIX – начала ХХ веков (П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, С.Н. Бернштейн) и работы немецких и английских математиков (К.Ф.Гаусс, К. Пирсон, Ф. Гальтон). Нельзя не отметить вклад советских математиков в составление таблиц функций (Е.Е. Слуцкий, Н.В. Смирнов, Л.Н. Большев). Математическая статистика для решения своих задач активно привлекает теорию вероятностей. Но, в отличие от теории вероятностей, которая занимается исчислением вероятностей, когда из каких-то соображений распределение вероятностей известно, статистика решает обратную задачу: отыскивание вероятностных характеристик случайных величин по наблюдаемым реализациям и частотам их появления. Ответ на поставленный выше вопрос о том, насколько результаты выборочного обследования будут справедливы для всей совокупности, математическая статистика формулирует в вероятностных терминах, вводя понятие “уровень доверия” – вероятность, с которой мы не ошибемся, если поверим выводам, сделанным на основе анализа выборки.

Дата добавления: 2014-01-20